Bonjour Sipok

D'accord, le carré a pour rayon 12.5cm. Mais quel est le côté du cercle?

>ming
Excellent:
cas n°1 .C'est une plaisanterie....
cas n° 2. il faut une virgule entre carré et de

Bonjour

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Pour le moment j'ai tracé le lieu géographique des cercles C 1 et je cherche le minimum
des aires pour ceux des 4 angles...

pour dpi

Bien vu la virgule

mais soit C1 un cercle de rayon 12.5 cm, etc. est mieux et simple.

autre remarque: l'aire est une mesure ou une surface Sipok?

Suite
Le problème devient intéressant...

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je trouve 53.50 % pour le minimum
je cherche le maximum
j'en tirerai une courbe et j'aviserai....

Bonjour dpi

le problème revint à déterminer l'intersection de l'ensemble des centres des cercles C1 correspondants à l'énoncé et de la surface du carré . CQFD

suite

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L'aire maximale étant de 99.968 %
nous avons donc une variation  de 53.503 à 99.968 % va falloir intégrer.....

Suite,
Je suis surpris que cet exercice  intéressant n'ait pas encore de succès
Un peu d' Al-Kashi et de calculs..
Un quart de cercle suffit pour avoir une idée

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On voit bien la courbe des % couverts
Sans intégrer ,je dirai  que les taux supérieurs à 75 % tournent autour de 90%

Une petite erreur de courbe...

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Salut,
une proposition de solution.

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Le centre du cercle de rayon 12,5cm doit être à une distance inférieure à 36,8363cm du centre O du carré.
Le calcul est pénible, je l'ai fait avec Xcas. Si ça intéresse quelqu'un je peux le donner.

La proportion de la surface du carré contenue dans le cercle de rayon 36,8363cm et de centre O est environ 0,9633.

En prenant un centre uniformément sur le carré pour le petit cercle, c'est la probabilité cherchée.

salut

Slpok @ 20-05-2018 à 13:24

Bonjour,

je vous propose une petite énigme comme j'ai pu le faire il y a quelques mois.

Soit un carré de côté . Soit son cercle circonscrit. Soit un cercle avec pour centre un point appartenant à la surface du carré de rayon 12.5cm.

Quelle est la probabilité qu'au moins 75% de l'aire du cercle soit comprise dans l'aire de .

Bon courage

Un disque eût été meilleur..........la confusion est classique et vue chez les meilleurs

>verdurin
j'ai travaillé sur les cercles (disques....) centrés sur les coté du carré, et la proportion  figure sur ma deuxième courbe ,je pense que ton % est bon car il y  très peu de cas  en dessous de  75%.
(de 36 à 45 ° (diagonale))

Salut dpi.
J'ai fait le calcul.
J'ai indiqué ma méthode.
Ceci étant dit je fais, comme tout le monde, des erreurs de calcul.

Nous espérons que Slopk nous tiendra au courant des résultats
de son énigme.

Je poste mes calculs avec Xcas.

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La variable d est la distance entre les centres des deux  disques.
L'aire de l'intersection étant invariante par rotation je prends un repère d'origine le centre du carré et je place le centre de C1 sur l'axe des abscisses du côté positif.

valeurs numériques pour le pb
c:=30.;r_a:=c*sqrt(2);r_b:=12.5  

coordonnées d'un point d'intersection des deux cercles
x:=(r_a^2-r_b^2+d^2)/d*0.5
y:=normal(sqrt(r_a^2-x^2))

aire de la lunule extérieure
A_ex:=r_b^2*arccos((x-d)/r_b)-r_a^2*arccos(x/r_a)+d*y:;

rapport entre l'aire de l'intersection et celle du petit disque
R_int:=1-A_ex/pi/r_b^2:;

La courbe


On cherche un rapport égale à 0.75
r_d:=fsolve(R_int=0.75,d,36,newton_solver)
réponse 36.8363031176

calcul de l'aire de la zone extérieure au carré du cercle de même centre que le carré et de rayon r_d.
En fait je calcule un quart de cette aire
Ext:=r_d^2*arccos(c/r_d)-c*sqrt(r_d^2-c^2)

Calcul de la pobabilité
(pi*r_d^2/4-Ext)/900
réponse 0.963275820507

Je poste mon approche:

1/il est évident que tous les C1  centrés sur un cercle concentrique de rayon 302-12.5 cm seront inclus à 100 %

2/

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Il faut donc étudier le cas des C1 centrés en bordure du carré ;
Pour cela j'ai observé un quart de la figure et en calculant l'aire des lunes
successives de 0 à 45 ° j'obtiens la courbe du 22/05 à 17h48 sur laquelle on constate
que les % inférieurs à  75 % sont de l'ordre de  10 à 15 % (j'ai pas intégré la courbe
qui a beaucoup trop de paramètres ).
Retenons 12.5 % soit 87.5% de cas favorables.

3/ petite péréquation

soit 100 % de 1/
2813.58/3600 =78.15 %
soit 87.5 %  de 2/
0.875 x 21.15 = 18.50 %
soit un total de  96.65 %

Un petit croquis complémentaire :

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Les zones du carré ne convenant pas sont en rouge, celle qui convient est en vert clair.
J'ai compris le carré comme surface.
Ce que j'ai appelé Ext dans mon calcul est en vert foncé.

Bonjour,

je suis d'accord avec toutes les formules de verdurin mais pas tout-à-fait avec les valeurs numériques (erreur relative d'environ ).
Je trouve:

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d'où une probabilité d'environ

Salut jandri.
Je suis surpris.
Non de m'être éventuellement trompé, mais de la petitesse de l'erreur.

Quel logiciel as-tu utilisé pour les calculs ?

Bonsoir !

Désolé j'arrive bien tard. Il fallait évidemment une virgule, faute de frappe mes excuses. Pour ce qui est du disque, ça semble évident quand carpediem nous le rappelle, c'est pas la première fois que j'ai un problème de vocabulaires sur mes énigmes, désolé encore.  Parler d'aire d'un cercle, fiou, mes profs de maths de collège seraient furieux.

Le résultat attendu était bien celui de jandri, par une méthode similaire à celle de Verdurin.

Bravo à vous tous

On peut aussi intégrer la courbe, je laisse cet exercice aux plus vaillants.  (voir les messages de dpi)

vocabulaire*

Je répète ma question.

Quelles sont les méthodes de calcul utilisées ?

J'ai assez confiance en Xcas et j'aimerais savoir pourquoi mon résultat est faux.

En d'autres termes, quelles sont les méthodes de calcul utilisées.

J'ai donné les miennes, j'aimerais voir les vôtres.

@verdurin

je suis désolé, c'est moi qui ai fait une erreur en recopiant un résultat intermédiaire.
Après correction je trouve bien la même valeur que toi, mais j'ai mis du temps pour trouver mon erreur.

J'ai utilisé Maple et je n'ai pas fait exactement les mêmes calculs que toi (j'ai pris comme inconnue un angle).

Personne n'est parfait.
j'ai fait attention à ne copier aucun résultat intermédiaire.

Ceci étant, j'aimerais avoir la solution de Slpok.

S'il est capable de la justifier.

Bonjour à tous

Finalement par 3 méthodes  nous arrivons à 96,. %
Je reconnais que la mienne n'est pas très orthodoxe , mais cela fait partie de ma tournure
d'esprit: Si un problème est posé par quelqu'un de compétent ,c'est qu'il y a une solution,
et je cherche soit à la trouver exactement soit à l'approcher au mieux....