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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Probabilité Géométrique

Posté par
carlie2022
27-11-21 à 11:06

Bonjour chers amis,
J'ai un souci par rapport à cet exercice et je voudrais vous le soumettre pour d'éventuelles solutions:



Un mobile ponctuel M se déplace dans le plan (xoy) en effectuant soit des translations de vecteur (1,0), soit des translations de vecteur (0,1). A chaque instant, il existe une probabilité p indépendante du temps que le prochain déplacement soit parallèle à ox. Sachant que M part de l'origine O, calculer :

a) pour a, b entier positifs, la probabilité que M arrive au point
A (a, b).
b) la probabilité qu'il atteigne le segment AH, H, étant la projection orthogonale de A sur l'axe Ox.





Voici la solution que j'ai pu trouvé mais je ne suis pas convaincu.

a)

Calculons la distance MA

                   M(1,1)   ; A (a,b)

                   MA  = √ [(a-1)2   +  (b-1)2]                                

Calculons la distance OA

                   O(0,0)   ; A (a, b)

                   OA  = √ [(a-0)2   +  (b-0)2]                                

OA = √ [(a2   +  b2) ]

Soit p cette probabilité
                
  p = MA /OA

                p = √ [(a-1)2   +  (b-1)2]   /   √ [(a2   +  b2) ]                          



Merci.

Probabilité Géométrique

Probabilité Géométrique

Posté par
carpediem
re : Probabilité Géométrique 27-11-21 à 11:16

salut

je ne comprends pas trop ce que tu fais ...

si u et v sont les vecteurs (1, 0) et (0, 1) alors à chaque instant le point se déplace selon u avec la probabilité p et selon v avec la probabilité 1 - p

si les coordonnées de a sont (a, b) alors OA = au + bv

il faut donc effectuer a déplacements selon u et b déplacements selon v

...

Posté par
Ulmiere
re : Probabilité Géométrique 27-11-21 à 11:47

C'est compliqué ton truc, en plus d'être faux quand A = O ou A = M (ça dépend le sens qu'on donne au verbe arriver dans ta consigne, après au moins une étape ou après au moins zéro étapes ?). De manière générale quand tu as une exercice sur les entiers, c'est pas une bonne idée d'avoir des racines carrées dans tes expressions

Si je suis en zéro et que je veux aller en (a,b), combien de fois je dois aller vers la droite ? Combien de fois vers le haut ?

Ensuite, quelle loi à ton avis modélise tes sauts  à chaque étape ?



Je t'aide pour les notations. Tes sauts X_{n+1}-X_n = \varepsilon_n peuvent s'écrire (0,1) + (1,-1)\times B_nB_n est une variable aléatoire réelle de loi de ... de paramètre p.
Les B_n sont-elles indépendantes en plus d'être de même loi ?

Si j'introduis la tribu F_n = \sigma(X_i, 0\leqslant n) pour tout n, est-elle adaptée au processus (X_{n}) ? Est-ce que les X_{n+1} sont intégrables conditionnellement à F_n ?
Enfin, calcule E(X_{n+1} | F_n).

Normalement, tu auras reconnu une martingale, qu'il te reste à stopper au temps d'arrêt
T := \inf\{n\geqslant 1 : X_n = (a,b)\}


Autre méthode, moins technique, mais toujours en utilisant le temps d'arrêt précédent

\begin{array}{lcl}
 \\ P_{a,b} = P(T<\infty) &=& P(\exists n\geqslant 0 :  X_{n+1} = (a,b))\\
 \\ &=& P(\exists n\geqslant 0:  X_n = (a-1,b)\wedge B_n = 1) + P(\exists n\geqslant 0:  X_n = (a,b-1)\wedge B_n = 0)\\
 \\ &=& \sum_n p\cdot P(X_n = (a-1,b)) + \sum_n (1-p)\cdot P(X_n = (a,b-1))\\
 \\ &=& pP_{a-1,b} + (1-p)P_{a,b-1}
 \\ \end{array}

Et te voilà avec une récurrence descendante à deux variables typique des problèmes de programmation dynamique, que je te laisse résoudre

Posté par
ty59847
re : Probabilité Géométrique 27-11-21 à 11:53

Souvent, dans les exercices de proba, on joue à Pile ou Face.. Est-ce qu'on est dans ce cadre ?
Apparemment non... mais en fait oui.
Question 1 : on lance une pièce n fois (n=a+b). Cette pièce n'est pas équilibrée, elle a une proba p de tomber sur Pile. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement a Pile et b Face ?

Posté par
DOMOREA
Probabilité Géométrique 27-11-21 à 12:53

bonjour,
cela me parait trop simple, fais-je fausse route ?
pour aller de 0 à A il faut a+b déplacements  il y a \begin{pmatrix} a+b\\a\end{pmatrix} déplacements possibles pour aller à A avec une probabilité égale pour chacun de  pa(1-p)b d'où la probabilité

Posté par
ty59847
re : Probabilité Géométrique 27-11-21 à 13:37

Ok , sauf une phrase, celle-ci : 'c'est trop simple'.

Posté par
carpediem
re : Probabilité Géométrique 27-11-21 à 13:48

dommage de donner la solution ...

ma réponse était bien suffisante (celle de Ulmiere bien qu'exacte me semble bien compliquée) dans un premier temps pour dégrossir très certainement la situation avec un peu de réflexion ...

et ce d'autant plus il n'y a aucun retour de carlie2022 ...

Posté par
Ulmiere
re : Probabilité Géométrique 27-11-21 à 13:54

Je voulais justement éviter de le faire recourir au dénombrement parce que c'est souvent source d'erreurs chez les étudiants et qu'il faut expliquer en quoi l'ordre compte ou non. Et de toute façon aborder la question de la loi de Bernoulli et de l'indépendance des accroissements, puisqu'on n'est pas encore au niveau master



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