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Probabilité, loi du couple

Posté par Eos (invité) 15-01-06 à 15:36

Bonjour tout le monde,

Voilà, les probabilités me posent à nouveaux problème. J'ai construit un raisonnement mais je ne suis pas du tout sûr de sa validité, donc si vous pouviez me dire s'il est juste ou pas, ça serait sympa.

On considère un marché sur lequel n (n>1) fournisseurs F1, F2, ... , Fn proposent des biens identiques à des consommateurs, ces derniers étant en nombre illimté. les commandes de ces derniers arrivent successivement et de façon indépendantes auprès des n fournisseurs. chaque cleint effectue une et une seule commande. on désigne par:

T la variable aléatoire égale au nombre de consommateurs ayant procédé à une commande, lorsque pour la première fois, chacun des n fournisseurs a reçu au moins une commande et à 0 si l'un au moins des fournisseurs ne reçoit pas de commande.

Up, pour 0 < p \le n, la variable aléatoire égale au nombre de consommateurs ayant procédé à une commande, lorsque pour la première fois, p fournisseursont ont reçu au moins une commande.

Vp=Up-Up-1 pour p\ge2 et V1=U1=1

Question:

Soit p\ge2 et k\gep-1, justifier l'égalité P(Up=k + l / Up-1=k)=4$(\frac{p-1}{n})^{l-1}(\frac{n-p+1}{n}) pour tout entier l non nul.

Ca c'est bon, j'y suis arrivé.

Déterminez 4$=\Bigsum_{k=p-1}^\infty~P(Up=k + l \cap Up-1=k)

J'ai déjà cherché P(Up=k + l \cap Up-1=k).

Pour ce faire, j'ai cherché P(Up-1=k) et je trouve P(Up-1=k) = 4$\frac{\(n\\p-1\)}{n}(\frac{p-1}{n})^{k-1}

Mon raisonnement est le suivant:
Il faut choisir les p-1 fournisseurs parmi les n, d'où \(n\\p-1\) cas favorables sur un total de n choix possible. Puis, k-1 consommateurs achètent chez p-2 fournisseurs. D'où une probabilité de (\frac{p-2}{n})^{k-1}. Enfin, le k ième consommateur achete chez le p-1 ième fournisseur, d'où un choix.

Ainsi, P(Up=k + l \cap Up-1=k)=4$(\frac{p-1}{n})^{l-1}(\frac{n-p+1}{n})(\frac{\(n\\p-1\)}{n})(\frac{p-2}{n})^{k-1}

Le problème c'ets que si j'utilise ce résultat, je n'rarive pas à prouver que Vp suit une loi géométrique de paramètre \frec{n-p+1}{n}.

Voilà, donc un coup de main ne serait pas de refus.

Merci d'avance.

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 16:37


As-tu remarqué que

\bigsum_{k=p-1}^{\infty}P\big(U_p=k+l\quad\cap\quad U_{p-1}=k\big)=P(V_p=l)\quad ?

Posté par Eos (invité)re : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 16:51

Oui, oui, ça pas de problème, mais c'est en faisant les calculs que je ne tombe pas sur la loi géométrique de paramètre \frac{n-p+1}{n} ce qui me fait douter de mon raisonnement.

Parce que il est évident que 2$\Bigsum_{k=p-1}^\infty~P(U_{p-1}=k)=1, puisque Up-1 est une loi de probabilité mais quand je fais mes calculs à partir de la formule trouvée ... ben, l'évidence ne transparaît pas! ^^ Et comme je veux le prouver par le calcul ... là est mon problème.

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:00

Pour déterminer P(U_{p-1}=k), je propose ce raisonnement :

Les k-1 premiers clients ont acheté chez p-2 fournisseurs. La proba qu'ils aient achetés chez ces p-2 fournisseurs est \left(\frac{p-2}{n}\right)^{k-1}. Puis le k-ième client achète chez l'un des n-p+2 fournisseurs qui reste.

Donc P(U_{p-1}=k)=C_{n}^{p-2}\left(\frac{p-2}{n}\right)^{k-1}\frac{1}{n-p+2}

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:01


Ce qui m'inquiète c'est que je ne crois pas que la somme de ces probas soit égale à 1...

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:15


Non le problème dans mon raisonnement est que les k-1 premiers clients ont acheté chez exactement p-2 fournisseurs.

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:17


Peut-être qu'il ne faut pas essayer de calculer la loi de Up-1

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:20


Ou alors déterminer cette loi par récurrence ?

Posté par Eos (invité)re : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:21

Je ne vois pas le problème avec "exactement" car chaque consommateur n'achète qu'une et une seule fois.

Mais si on ne doit pas calculer Up-1, pourquoi nous a-t-on demandé de calculer la probabilité conditionnelle si ce n'est justement pour pouvoir en déduire la loi du couple ...

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:27


Mais oui je crois que j'ai compris... une minute...

Posté par Eos (invité)re : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:27

Recurrence!!

Il faudrait avoir une conjecture d'abord ... chose que nous n'avons hélas pas.

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:34

  \bigsum_{k=p-1}^{\infty}P\big(U_p=k+l\quad \cap\quad U_{p-1}=k\big)=\bigsum_{k=p-1}^{\infty}P\big(U_p=k+l\quad |\quad U_{p-1}=k\big)P(U_{p-1}=k)

Or on a vu que
P\big(U_p=k+l\quad |\quad U_{p-1}=k\big)= \left(\frac{p-1}{n}\right)^{l-1}\left(\frac{n-p+1}{n}\right) ne dépend pas de k.

Donc  \bigsum_{k=p-1}^{\infty}P\big(U_p=k+l\quad \cap\quad U_{p-1}=k\big)= \left(\frac{p-1}{n}\right)^{l-1}\left(\frac{n-p+1}{n}\right)\times \bigsum_{k=p-1}^{\infty} P(U_{p-1}=k)= \left(\frac{p-1}{n}\right)^{l-1}\left(\frac{n-p+1}{n}\right)

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:36


Noon tu vois il n'y avait pas besoin de la loi des Up. Mais on peut peut-être les trouver par récurrence grâce au calcul de la proba conditionnelle au départ (quitte à faire soi-même une conjecture...)

Posté par Eos (invité)re : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 17:43

Oui, sur cela je suis entiérement d'accord et c'est ce que je comptais écrire mais je voulais surtout le prouver par le calcul: prouver que P(Up-1=k) était une loi de proba pour k prenant toutes les valeurs de p-1 à + l'infini.

Mais je crois que mon acharnement ne mène à rien, parce que la loi de Up-1 trouvée n'est pas égale à 1. Je vais encore y réflechir un peu et si je n'y arrive pas .. ben je dirait seulement que Up-1 est une loi de proba et que 3$\Bigsum_{k=p-1}^\infty~P(U_{p-1}=k)=1

Merci de ton aide en tout cas

Posté par
stokastikre : Probabilité, loi du couple 15-01-06 à 18:06


Mais pourquoi tu veux calculer la loi des Up ?? On a trouvé la loi de
Vp donc ton exercice est fini.

Sinon pour avoir la loi de Up, on peut remarquer que

U_p=V_p+V_{p-1}+\cdots+V_2+1, et il me semble que les Vp sont indépendantes non ?

Posté par Eos (invité)re : Probabilité, loi du couple 18-01-06 à 14:17

Je suis un peu tétu

J'ai demandé à ma prof de maths, et elle m'a dit qu'essayer de calculer sa loi était du temps perdu et que l'égalité avec la somme suffit!!!

Donc voilà!


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