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Probabilite:Nombre de Surjections
Posté par Maesan
Bonjour et merci de me lire
En fait j'ai un soucis avec le nombre de surjection qui est l'intitule d'un exo(en esperant que le mot exo ne soit pas interdit par la forum svp)
L'intitule est le suivant:
On lance independammet les unes des autres r balles dans n boites avec equiprobabilite
1.Determiner la probabilite qu'aucune boite ne soit vide(on pourra commencer par etudier l'evenement contraire)
Ici j'ai essaye quelaue chose mais je n'en suis vraiment pas sure et ce a cause de la suite de l'exercice.
Pour commencer,je me suis dit sit r<n alors l'evenement est imposssible car il existera forcement au moins une boite vide
En fait l'evenement contraire est"au moins une boite est vide"
dans ce cas,jai fait les cas"exactement une boite est vide", "exactement deux boites sont vides" etc..
Bon das le cas ou une boite est vide,on lance les r balles dans les n-1 boites restantes et ici j'ai pense au nombre de surjections d'un ensemble a r elements vers un ensemble a n-1 elements soit .Sn-1r et le meme raisonnement pour la suite(j'imagine que je peux utiliser l'expression generale de ce nombre de surjection et sommer pour les tous cas exactement un ,exactement 2 etc...
2.En deduire une formule exprimant sous forme d'une somme ,le nombre de surjections d'un ensemble a r elements dans un ensemble a n elements.
Je n'ai vraiment pas vu comment faire.Sachant qu'a la premiere question j'ai justement utilise cette formule(en fait,elle se demontre souvent dans les exercices c'est pour cela que je la connais)
3.En appliquant cette formule au cas n=r, demontrer la relation:
(Je vais joindre une photo de la relation car il m'est compliquee de l'ecrire avec les symboles sur le site svp)
pour cette derniere question,j'essayerai quand j'aurai compris la deuxieme svp
Mia un camarade a moi m'avait parle de la formule de Poincare qui aurait marche mais je ne vois pas comment
Merci beaucoup
Bonjour,
pour appliquer la formule de Poincaré ( formule du crible ) on peut considérer les événements Ak : au moins k boîtes sont vides.
La probabilité d'un Ak est facile à calculer : on choisi les k boîtes vides et on compte les applications d'un ensemble à r éléments dans un ensemble à n-k éléments.
Les intersections sont également facile à déterminer : Ai
Aj=Am avec m=max(i;j).
Pour la 1ere question, tu dis que tu veux utiliser le nombre de surjections entre 2 ensembles.
Tu connais la formule qui donne ce nombre ? ???
Pour utiliser l'indice donné par l'énoncé, tu peux calculer la probabilité que la boite n°n soit vide.
Et essayer de voir comment continuer.
L'idée (avant l'indice que je viens de donner), c'est de se demander : quels sont les trucs simples que je sais calculer ?
Il faut mettre sur la table les 2 ou 3 outils qu'on connaît. Et voir si on peut combiner tout ça pour arriver au résultat cherché.
ty59847 @ 30-10-2022 à 09:04
Pour la 1ere question, tu dis que tu veux utiliser le nombre de surjections entre 2 ensembles.
Tu connais la formule qui donne ce nombre ? ???
Pour utiliser l'indice donné par l'énoncé, tu peux calculer la probabilité que la boite n°n soit vide.
Et essayer de voir comment continuer.
L'idée (avant l'indice que je viens de donner), c'est de se demander : quels sont les trucs simples que je sais calculer ?
Il faut mettre sur la table les 2 ou 3 outils qu'on connaît. Et voir si on peut combiner tout ça pour arriver au résultat cherché.
Pour la 1ere question, tu dis que tu veux utiliser le nombre de surjections entre 2 ensembles.
Tu connais la formule qui donne ce nombre ? ???
Pour utiliser l'indice donné par l'énoncé, tu peux calculer la probabilité que la boite n°n soit vide.
Et essayer de voir comment continuer.
L'idée (avant l'indice que je viens de donner), c'est de se demander : quels sont les trucs simples que je sais calculer ?
Il faut mettre sur la table les 2 ou 3 outils qu'on connaît. Et voir si on peut combiner tout ça pour arriver au résultat cherché.
Je connais la formule qui donne ce nombre mais elle dépend encore de S pour un ensemble d'un certain nombre d'éléments vers un autre nombre d'éléments et c'est assez vaste
verdurin @ 30-10-2022 à 08:57
Bonjour,
pour appliquer la formule de Poincaré ( formule du crible ) on peut considérer les événements Ak : au moins k boîtes sont vides.
La probabilité d'un Ak est facile à calculer : on choisi les k boîtes vides et on compte les applications d'un ensemble à r éléments dans un ensemble à n-k éléments.
Les intersections sont également facile à déterminer : AiAj=Am avec m=max(i;j).
d'accord merci j'utiliserai poincarré🙏🏽Bonjour,
pour appliquer la formule de Poincaré ( formule du crible ) on peut considérer les événements Ak : au moins k boîtes sont vides.
La probabilité d'un Ak est facile à calculer : on choisi les k boîtes vides et on compte les applications d'un ensemble à r éléments dans un ensemble à n-k éléments.
Les intersections sont également facile à déterminer : Ai
Aj=Am avec m=max(i;j).Sinon, le tuyau de verdurin est un peu crevé (la dernière phrase est fausse, par exemple).
Il vaut mieux suivre le tuyau de ty59847 en considérant comme évènement "la i-ème boîte est vide".
L'événement "Au moins une boîte est vide" est la réunion de ; c'est ici qu'intervient la formule de Poincaré.
Erratum : c'est plutôt l'aant-dernière phrase du message de Verdurin qui pose un (assez gros) problème.
Merci GBZM,
j'ai effectivement écris :
Citation :
La probabilité d'un Ak est facile à calculer : on choisi les k boîtes vides et on compte les applications d'un ensemble à r éléments dans un ensemble à n-k éléments.
Ce qui est complètement faux.La probabilité d'un Ak est facile à calculer : on choisi les k boîtes vides et on compte les applications d'un ensemble à r éléments dans un ensemble à n-k éléments.
Bonsoir à vous
J'ai essayé quelque chose mais je n'en suis pas sûre est ce que le forum m'autorise-il a filmer ce que j'ai fait ?Parceque c'est vraiment long et avec les symboles je me dis que je pourrai filmer cela?
Merci beaucoup si possible (en attendant je filme quand même cela )
En fait ça ne me donne pas la formule générale du nombre de qu'éjections qui est sensée être
Je me dis que j'ai raté mais je ne vois pas la faille de mon raisonnement
merci🙏🏽
Je ne veux pas ouvrir de pdf, alors je te pose des questions.
Soit B un ensemble à r éléments. On considère les fonctions de B dans {1,...,n}.
1°) Combien y a-t-il de telles fonctions ?
Pour j dans {1,...,n}, on note A_j l'ensemble des fonctions de B dans {1,...,n} telles que j n'appartient pas à l'image.
2°) Combien y a-t-il de fonctions dans A_j ?
Pour J partie de {1,...,n}, on note A_J l'intersection des A_j pour j appartenant à J.
3°) Si J est de cardinal k, combien y a-t-il de fonctions dans A_J ?
4°) Combien y a-t-il de parties de {1,...,n} de cardinal k ?
5°) Quel rapport entre la réunion des A_i pour i allant de 1 à n et l'ensemble des surjections de B dans {1,...,n} ?
6°) Combien y a-t-il de surjections de B dans {1,...,n} ? (Poincaré, au secours !)
S'il vous plaît je vois où vous voulez en venir
Vous voulez dire que chaque fois dans la formule de Poincaré dans la zone des intersections des Ak on aura combinaison de k dans n( différents choix des k boites vides)multiplié par le nombre d'applications qu'on peut avoir d'un ensemble à r éléments vers un ensemble à n-k éléments(n-k boites non vides).
Mon soucis est le suivant : est ce que cette application nous garantie que les n-k boites ne seront pas vides sachant qu'on a pas pris en compte la surjective de cette application(je suis encore à la première question de l'exercice)
Je vais peut être dire un truc bizarre mais moi je me disais qu'on pouvait directement résoudre l'exercice. On cherche à mettre r balles dans n boites sans qu'il y 'ait de boites vides: pourquoi ne pas d'abord distribuer n balles(n!) puis réaliser une application de l'ensemble des n-r balles vers l'ensemble des n boites.(C'est ce raisonnement que j'ai utilisé dans mon pdf également,mais je n'arrive pas à voir sa limite)
Et sachant que si r<n on ne peut pas réaliser « aucune boite n'est vide »
Pour la deuxième question je vois déjà ce qu'il faut faire je crois bien. En fait le nombre de surjection cherché sera juste notre probabilité trouvée multipliée par n^r
Mais la première question j'ai ce soucis vraiment(Si vous pouviez regarder le pdf svp j'aimerais savoir la limite de mon raisonnement🙏🏽)
Merci beaucoup
Pour moi, dans ce conterxte, ça veut dire exactement la même chose.
Ne tourne pas autour du pot, s'il te plait.
1)n^r fonctions
2)choix de l'élément j: combinaison de 1 dans n =n
Soit n* (n-1)^r fonctions
3)choix des k éléments :combinaison de k dans n (je noterai (k n)
Soit au final (k n)*(n-k)^r
4)Combinaison de k dans n parties
5) je ne vois pas le lien svp: je bloque au niveau de surjection. Je ne comprends vraiment pas