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Probabilité : optimisation d'un agenda

Posté par
H_aldnoer 21-06-08 à 09:06

La durée d'une opération de maintenance sur une photocopieuse peut être modélisée par une variable aléatoire réelle \Large{X} prenant au hasard ses valeurs dans l'intervalle \Large{[0,\theta]} avec \Large{\theta >0}.
Afin d'optimiser l'agenda d'un réparateur, on cherche à estimer \Large{\theta } à partir d'un \Large{n}-échantillon \Large{(X_1,\cdots,X_n)} de même loi que \Large{X}.
On propose d'estimer \Large{\theta } par \Large{\hat{\theta}_n=max_{1\le k\le n} X_k.

1) Calculer la fonction de répartition et la densité de probabilité de \Large{\hat{\theta}_n.
2) En déduire l'espérance et la variance de \Large{\hat{\theta}_n.
3) Montrer que \Large{\hat{\theta}_n} converge presque sûrement vers \Large{\theta }.
4) Montrer que \Large{Y_n=n(\theta-\hat{\theta}_n) converge en loi vers \Large{Z} où \Large{Z\sim \mathcal{E}(\lambda) avec \Large{\lambda >0 à déterminer.

---

Mon problème c'est de savoir la loi de \Large{X}, car rien n'est donné dans l'énoncé!

1) J'ai \Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=(F_X(x))^n si je ne me trompe pas. Mais comment connaître la fonction de répartition de \Large{X} ?!?
En dérivant on obtiendrai la densité de probabilité.

2) On utilise \Large{\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]=\Bigint_{\mathbb{R}}|\theta|f_{\hat{\theta}_n}(\theta)d\theta} et \Large{\mathbb{V}[\hat{\theta}_n]=\mathbb{E}[\hat{\theta}_n^2]-(\mathbb{E}[\hat{\theta}_n])^2 mais sans la première question, je suis bloqué!

3) Ici, j'ai fait le calcul suivant en vue d'utiliser Borel-Cantelli : \Large{\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge \epsilon)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\theta+\epsilon)+F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon) mais sans la première question, je suis bloqué!

4) Ici, j'ai fait ce calcul : \Large{F_{Y_n}(x)=F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\frac{x}{n}) mais sans la première question, je suis bloqué!

Voila vous l'aurez compris, la première question me bloque!
Help! Merci par avance.

Posté par
stokastikre : Probabilité : optimisation d'un agenda 21-06-08 à 10:39

Encore et toujours cette question...

5$\max\{x_k\} \leq t \Longleftrightarrow \forall k, x_k \leq t.

L'indépendance donne alors que la fonction de répartiion du max est le produit ds fonctions de répartition.

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 21-06-08 à 13:31

Oui mais nous sommes d'accord!

\Large{F_{\hat{\theta}_n}(x)=\mathbb{P}(\hat{\theta}_n\le x)=\mathbb{P}(max_{1\le%20k\le%20n}%20X_k\le x)=\mathbb{P}(\Bigcap_{k=1}^nX_k\le x)=\Bigprod_{k=1}^n\mathbb{P}(X_k\le x)=\Bigprod_{k=1}^nF_X(x)=(F_X(x))^n.

N'est-ce pas ce que j'avais écris ? Ou alors j'ai mal compris!
Le problème est de savoir comment déterminer la fonction \Large{F_X} en fait.

Posté par
stokastikre : Probabilité : optimisation d'un agenda 21-06-08 à 14:48

Ah désolé j'avais pas lu tout ton post.

Je pense qu'il est sous-entendu que X est uniforme dans [0,\theta].

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 21-06-08 à 15:09

si \large X\sim U[0,\theta]

on a \large f_X(x)=\frac{1}{\theta}.1_{[0,\theta]}

donc \rm \large F_X(x)=0 si x<0

\rm \large F_X(x)=1 si x\ge \theta
et \rm \large F_X(x)=x si 0\le x< \theta

sauf erreur...ça permet de faire la suite

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 21-06-08 à 15:20

erratum

\rm \large F_X(x)=\frac{x}{\theta} si 0\le x< \theta

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 22-06-08 à 11:01

Ok!

Voici ce que je trouve :
1) \Large{F_{\hat{\theta}_n}(y)=\{0\,si\, y<0\\(\frac{y}{\theta})^n\, si\, 0\le y\le \theta\\1\,si\,\theta <y et \Large{f_{\hat{\theta}_n}(y)=\{\frac{n}{y}(\frac{y}{\theta})^{n}\, si\, 0\le y\le \theta\\0\,sinon.

2) \Large{\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]=\frac{n\theta}{n+1} et \Large{\mathbb{V}[\hat{\theta}_n]=\frac{n\theta^2}{(n+2)(n+1)^2}.

3) J'ai : si \Large{\theta < \epsilon} \Large{\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge\epsilon) =0; sinon \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge\epsilon )=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}(\frac{\theta-\epsilon}{\theta})^n avec \Large{q=(\frac{\theta-\epsilon}{\theta}) strictement compris entre 0 et 1. On conclut avec le lemme de Borel-Cantelli.

4) Ici je trouve que :
\Large{F_{Y_n}(y)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\frac{y}{n}).

Soit \Large{F_{Y_n}(y)=\{1-exp(nln(1-\frac{y}{n\theta}))\,si\,y\ge0\\0\,sinon.

Finalement \Large{\lim_{n\to +\infty} F_{Y_n}(y)=F_{Z}(y) où \Large{Z\sim\mathcal{E}(\frac{1}{\theta}).

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 22-06-08 à 17:22

re,

pour l'espérance et la variance, je trouve pas la meme chose...

\large E[\hat{\theta_n}]=E[Max_k X_k]=\Bigprod_{k=1}^n E[X_k]=\(\frac{\theta}{2}\)^n
non??

ensuite,tu avais dit
\large P(|\hat{\theta_n}-\theta|\ge \epsilon)=1-F_{\hat{\theta_n}}(\theta+\epsilon)

mais ça ne colle pas...
comment as tu procédé??

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 22-06-08 à 21:46

Pour l'espérance, j'utilise que \Large{\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]=\Bigint_{\mathbb{R}}|u|f_{\hat{\theta}_n}(u)du non ?

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 22-06-08 à 23:59

oui mais pourquoi ce que j'écris à 17:22 est faux?

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 22-06-08 à 23:59

et pour la question 3) H_aldnoer??

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 00:51

Pour 17:22 : comment passes-tu de \Large{\mathbb{E}[max_{1\le k\le n} X_k]=\Bigprod_{k=1}^n\mathbb{E}[X_k] ?

Pour la question 3 : non, c'est \Large{\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge%20\epsilon)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\theta+\epsilon)+F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon), es-tu d'accord ?

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 11:01

pour 17:22...oublie (j'avais pas fait la sieste )


pour la question 3)
ok mais \large F_{\hat{\theta_n}}(\theta-\epsilon)=0non??

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 14:45

Citation :
j'avais pas fait la sieste



Tu trouves pareil alors pour l'espérance et la variance ?

Sinon, \Large{F_{\hat{\theta}_n}(y)=0 si \Large{y<0}.
Donc \Large{F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon)=0 si \Large{\theta<\epsilon} non ?

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:05

oui je suis d'accord avec tout ce que tu dis à 14:45

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:15

et avec 11:01 ?

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:18

non mais regarde 00:51 et 11:01...

pour moi \large P(|X_n-X|\ge \epsilon)=1-F_{\hat{\theta_n}}(\theta+\epsilon)=1-\(\frac{\theta+\epsilon}{\theta}\)^n

non,
ou est mon erreur?

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:22

En fait \Large{\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge%20\epsilon)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\theta+\epsilon)+F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon).

Puisque \Large{\theta<\theta+\epsilon, on a \Large{F_{\hat{\theta}_n}(\theta+\epsilon)=1 et donc \Large{\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge%20\epsilon)=1-F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon), non ?

Tu trouves pareil pour la fonction de répartition ?
\Large{F_{\hat{\theta}_n}(y)=\{0\,si\,%20y%3C0\\(\frac{y}{\theta})^n\,%20si\,%200\le%20y\le%20\theta\\1\,si\,\theta%20%3Cy

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:32

Euh ... lire \Large{\mathbb{P}(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge%20\epsilon)=F_{\hat{\theta}_n}(\theta-\epsilon)

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:42

ahh voilà!!
d'accord,c'est bon ok ok!!

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:45

C'est ok pour tout alors ?
On trouve les mêmes résultats ?

Posté par
robby3re : Probabilité : optimisation d'un agenda 23-06-08 à 15:48

ouép,c'est tout pareil!


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