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probabilité : pannes

Posté par duanegris (invité) 25-09-06 à 23:48

Bonjour,

voici un problème que j'aimerais vous soumettre. Je ne suis pas certain de ma réponse, et je serais très heureux d'avoir des commentaires.


On considère sur une période de temps, un système comportant 3 processus P0, P1 et P2 et 3 machines M0, M1 et M2. Chaque processus dépend de 2 machines : le processus tombe en panne si les 2 machines dont il dépend tombent en panne. On a:
P0 dépend de M0 et M1
P1 dépend de M1 et M2
P2 dépend de M2 et M3.

Chaque machine a une probabilité f de tomber en panne durant la période. Les pannes sont des évenements indépendants.
On cherche la probabilité d'avoir au moins un processus en panne après une période.

==
Voici ma réponse:

On note E_i l'évenènement "La machine M_i est tombée en panne",
et \bar{E_i} l'évenènement "La machine M_i n'est pas tombée en panne".
La panne du sytème survient quand on a :

F = (E_0 {\rm et} E_1) {\rm ou} (E_1 {\rm et} E_2) {\rm ou} (E_2 {\rm et} E_3)

ou, comme il me semble plus simple d'exprimer l'évenement contraire, soit \bar{F} = \neg F :

\neg F = \neg(E_0 {\rm et} E_1) {\rm et} \neg(E_1 {\rm et} E_2) {\rm et} \neg(E_2 {\rm et} E_3)

= (\bar{E_O} ou \bar{E_1}) {\rm et} (\bar{E_1} ou \bar{E_2}) {\rm et} (\bar{E_2} ou \bar{E_3})

En passant aux probabilités, la probabilité P(\bar{F}) est:
P(\bar{F}) = \\ (P(\bar{E_0})+P(\bar{E_1})-P(\bar{E_0} \cap \bar{E_1})) \times \\ (P(\bar{E_1})+P(\bar{E_2})-P(\bar{E_1} \cap \bar{E_2})) \times \\ (P(\bar{E_2})+P(\bar{E_3})-P(\bar{E_2} \cap \bar{E_3}))

On a :
P(E_i)=f, donc P(\bar{E_i})=1-f, \forall i

Aussi, je considère \bar{E_0} \cap \bar{E_1} par exemple, désigne le cas où M0 et M1 ne sont pas en panne simultanément, d'où la probabilité de ce cas:  
P(\bar{E_0} \cap \bar{E_1}) = P(\bar{E_1} \cap \bar{E_2}) = P(\bar{E_2} \cap \bar{E_3}) = (1-f)^2.


D'où
P(\bar{F})= (2(1-f)-(1-f)^2))^3
et
P(F) = 1-((2(1-f)-(1-f)^2))^3)

==

Posté par
veledaprobabilités pannes 26-09-06 à 19:42

bonsoir,je viens de regarder rapidement ce problème il me semble qu'il y a quelque chose qui ne va pas dans la démonstration que tu proposes en effet si P0etP2sont en panne=> P1en panne puisque M2etM1sont en panne
il me semble bizarre que le résultat soit de degré 6 en f
je vais chercher autrement ce soir ou demain en étudiant les cas où il n'y a pas de processus en panne si
a)les quatres machines foctionnent
b)une machine est en panne
c)deux machines sont en panne(par exemple M0et M2,ça ne peut pas etre n'importe lesquelles)
ce sera peut être plus simple

Posté par duanegris (invité)probabilités pannes 27-09-06 à 00:27

bonsoir,

Citation :
en effet si P0 et P2sont en panne=> P1 en panne puisque M2 et M1 sont en panne

oui, ca peut paraire bizarre mais je crois que la proposition F que je fais prend ca en compte.
En réalité, j'ai simplifié le problème à 3 machines et 3 processus, et ce cas semble fréquent, mais dans la réalité, le système comporte n processus qui dépendent chacun de \log_2{n} machines.

Citation :
il me semble bizarre que le résultat soit de degré 6 en f

Oui, je pensais arriver à un degré 3. Je vais essayer de développer sans passer par l'évenement contraire.

Posté par duanegris (invité)probabilités pannes 27-09-06 à 15:39


Citation :
En réalité, j'ai simplifié le problème à 3 machines et 3 processus, et ce cas semble fréquent, mais dans la réalité, le système comporte n processus qui dépendent chacun de  machines.


Pour se rapprocher de la réalité (on a une symétrie des dépendances), tout en gardant un cas simple à 3 processus, il faudrait modifier l'énoncé ainsi (en ne considérant que 3 machines au lieu de 4):

P0 dépend de M0 et M1
P1 dépend de M1 et M2
P2 dépend de M2 et M0  (au lieu de M3)

Posté par duanegris (invité)re : probabilité : pannes 27-09-06 à 16:03



Je me rend compte que les éléments manipulés ne sont pas clairs pour moi et donc je doute de ce que représentent certains expressions de mon développement ci-dessus.


En fait, je ne vois pas bien quel est l'espace probabilisé.
Dans ce que j'ai pu lire il faut définir les évènements élémentaires de l'expérience aléatoire.


Dans ce cas, l'expérience est "observer l'état des machines après une période", et c'est l'ensemble des evts :
\omega = \{ M_0, \bar{M_0}, M_1, \bar{M_1}, M_2, \bar{M_2} \}
(Avec M_i : la machine i est en panne, \bar{M_i} : machine i pas en panne).

Par contre, on doit avoir que la somme des éléments de \omega égale 1. Or ce ne sera pas le cas ici où on dit que chaque machine à une probabilité f (f \in [0,1]) de tomber en panne.

Le bon sens veut ici qu'on ait p(M_0)+p(\bar{M_0})=1,Donc je devrais avoir autant d'univers que de machines ? Comment les combiner ?


Que doit on définir comme univers probabilisé pour modéliser correctement la situation ?

Posté par duanegris (invité)probabilités pannes 27-09-06 à 17:35



Désolé de polluer ce fil de discussion, mais je crois avoir compris mon problème.


Il faut considérer l'ensemble des observations possibles pour 3 machines après une période.
C'est l'ensemble des 2^3 triplets :
\omega = \{ \\ (M_0,M_1,M_2),(\bar{M_0},M_1,M_2),(M_0,\bar{M_1},M_2),(\bar{M_0},\bar{M_1},M_2), \\ (M_0,M_1,\bar{M_2}),(\bar{M_0},M_1,\bar{M_2}),(M_0,\bar{M_1},\bar{M_2}),(\bar{M_0},\bar{M_1},\bar{M_2})\}




On peut associer facilement une probabilité à chaque élément de \omega: par exemple
   * (M_0,M_1,M_2), la proba d'avoir les 3 machines ok est f^3,
  * (\bar{M_0},\bar{M_1},\bar{M_2}), la proba d'avoir en même temps les 3 machines en panne est (1-f)^3,
  * 1 machine ok, 2 en panne est f.(1-f)^2

On vérifie que la somme des probabilités associées aux 8 cas est égale  à 1.


L'évènement "système en panne" F est constitué des
4 évenèments élémentaires suivants:
\{ (\bar{M_0},\bar{M_1},M_2),(\bar{M_0},M_1,\bar{M_2}),(M_0,\bar{M_1},\bar{M_2}),(\bar{M_0},\bar{M_1},\bar{M_2})\}.

Ces évènements sont incompatibles et donc la probabilité
de F est la somme des probabilités des 4 évenements élémentaires.
On a P(F) =3*((1-f)^2*f)+f^3 = 4f^3-6f^2+3f

Posté par
veledare:probabilités pannes 27-09-06 à 19:24

bonsoir
j'ai cherché ce matin mais je rentre seulement chez moi je trouve:
probabilité de n'avoir aucun processeur en panne p=1-3f2+2f3
sans utiliser le résultat précédent je trouve:probabilité d'avoir au moins un processeur en panne q=3f2-2f3 donc ça a l'air d'être ça
une seule panne
P0en panne    f2(1-f) M2 doit fonctionner mais pour M3 c'est indifférent
P1en panne    f2(1-f2) M0et M3doivent fonctionner
P2en panne    f2(1-f)

deux pannes
P0et P1 f3(1-f)
P1et P2 f3(1-f)
trois pannes                   f4

je n'ai pas le temps de lire  maintenant les messages de la journée je lirais ce soir  bonne soirée

Posté par
veledaprobabilités:pannes 28-09-06 à 09:59

bonjour
on peut aussi utiliser la formule du crible à l'ordre 3
P(ABC=
avec A0en panne,B1en panne,C2en panne

Posté par
veledare:probabilités pannes 28-09-06 à 15:12

rebonjour,
mon avant dernier message n'est pas passé il me semble
je voulais dire que j'étais d'accord avec ton message du 27 17h35 à part une petite erreur il me semble confusion entre f et (1-f):
la probabilité d'avoir les 3 machines en panne c'estf3
la probabilité d'avoir les  3 machines Ok c'est(1-f)3....

Posté par duanegris (invité)re : probabilité : pannes 28-09-06 à 23:08



Exactement. Je me suis aperçu après le post que j'avais inversé f et 1-f pour la probabilité de panne dans ma dernière proposition.


Merci beaucoup veleda d'avoir vérifié. On tombait sur les mêmes résultats modulo les modifs d'énoncés.


Je vais maintenant essayer de généraliser à n processus dépendant de m machines.


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