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Probabilité urnes et boules

Posté par
Lisahaha 09-01-22 à 13:45

Une première urne, appelée Ua, contient quatre boules rouges et six boules noires. Une seconde urne,
appelée Ub contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numérotées de 1 à 6. Il le lance une fois :
s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne Ua, sinon il tire au hasard une boule de l'urne Ub.
On note A l'événement le joueur tire une boule de l'urne Ua.
On note B l'événement le joueur tire une boule de l'urne Ub.
On note R l'événement le joueur tire une boule rouge.

Le « n » représente l'union parce que je n'arrive pas à le faire.

1) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
2) a) Calculer p(A n R) et  p(B n R).
b) Montrer que p(R) = 0,15.
3) a) Calculer pR(A).
b) Si le joueur tire une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de l'urne a est-elle supérieure à la
probabilité qu'elle provienne de l'urne Ub?
4) Le joueur répète 4 fois l'épreuve aléatoire précédente, dans des conditions identiques et
indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de chaque épreuve, les urnes retrouvent leur composition
initiale). Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge sur les quatre boules tirées.

1) j'ai fait l'arbre
p(A)=\frac{1}{6} \\ p(B)=\frac{5}{6} \\ pA(R)=\frac{12}{5} \\ pB(R)=\frac{3}{25} \\ \\ 2)a) p(A n R)=\frac{2}{5} \\ p(B n R)=\frac{1}{10} \\ \\     b) p(R)=p(A n R) + p(B n R)= 0,15 \\ 3)a) pR(A)=\frac{\frac{2}{5}}{0,15} = \frac{2}{0,75} \\ \\     b) pR(B)=\frac{\frac{1}{10} }{0,15} \frac{1}{1,5}
Donc plus de chance que la boule rouge vienne de l'urne A sauf que je ne suis pas convaincue par ces deux derniers calculs. Est-il normal que je trouve un résultat supérieur à 1 pour pR(A) ?

Merci

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 13:58

Bonjour,

tu peux poster ton arbre ?

non, il n'est pas normal de trouver une proba > 1,
une proba estt toujours comprise entre 0 et 1.

tu dis que tu as écrit    n   pour union  ,   ce serait pas plutot n  pour inter ?
je regarde ton sujet, et je reviens.

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:02

Leile

Oui je veux bien le poster mais est-ce que j'ai le droit d'en envoyer une photo ? Comme les règles sont assez strictes je ne voudrais pas faire une bêtise...
Et oui je me suis trompée c'est bien inter

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:05

si tu postes juste ton arbre , ce sera accepté.

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:14

Leile

Je viens de me rendre compte que mes données sur mon arbre sont fausses car la somme n'est pas égale à 1

Je suis perdue

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:18

c'est bien ce qui me semblait, c'est pour ça que je te demandais ton arbre.
poste le quand même, je te dirai où tu t'es trompée.

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:24

Leile

Probabilité urnes et boules

malou edit > **image tournée ! à l'endroit c'est mieux, non ? **

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:31

tu lances ton dé, tes probas sont OK au début.

je vois que tu as "recalculé"  pA(R), alors que c'est donné dans l'énoncé. C'est là que tu te trompes.

tu te places en A, là, l'énoncé te dit  :  dans l'urne A, il y a 4 rouges sur 10
(c'est donc bien  " p(Rouge)  sachant qu'on est dans l'urne A")
donc la proba que tu dois écrire  de A vers R est   4/10

tu vois ?
sais tu rectifier ton arbre à présent ?

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:32

nb : en plus tu trouves  12/5  qui est forcément fausse car > 1.

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:33

merci malou !!  

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:42

Leile

Merci beaucoup ! J?ai du mal avec cette notion?
Je vous envoie mon nouvel arbre mais elle se met automatiquement à l?envers, désolée?

Probabilité urnes et boules

* Modération > Image tournée. Bizarre cette histoire d'à l'envers *

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:45

c'est mieux !!

à présent, tu peux reprendre les questions :

p(A n R) =  ??    

p(B n R)  =  ??

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:50

p(A n R) = p(A) * pA(R) =\frac{1}{15} \\ \\ \\ p(B n R) = p(B) * pB(R) = \frac{1}{12}

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 14:51

oui, c'est correct !

tu continues ?

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:13

Leile

p(R) = p(A n R) + p(B n R) = 0,15 \\ \\ pR(A) =\frac{p(A n R}{p(R)} = \frac{4}{9} \\ \\ pR(B) = \frac{p(B n R)}{p(R)} = \frac{5}{9}

La probabilité que la boule rouge vienne de l'urne UA est inférieur à la probabilité qu'elle vienne de l'urne UB

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:14

Il ne me reste plus que la question 4 mais je ne sais pas comment m'y prendre

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:19

oui, très bien.

question 4 :  as tu vu en cours la loi binomiale ?

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:20

Non je ne l'ai pas encore vue

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:28

OK, alors on ne va pas en parler.
p(R)  =  0,15   à chaque jeu et   tu refais le même jeu 4 fois de suite.
p(N)  =  ?

pour avoir moins de calcul à faire, on va trouver la proba de l'évenement contraire à celui qu'on examine.
Quel est l'évenement contraire à  "obtenir au moins une boule rouge sur les quatre boules tirées."   ??

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:31

Je crois que l'évènement contraire est « ne pas obtenir de boule rouge sur les 4 tirées » ?
Que représente p(N) ?

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 15:33

j'ai écrit p(N) pour p(Noire)  pour  p(Rbarre).

oui, ne pas obtenir de boule rouge, c'est finalement tirer  NNNN.
que vaut p(N) ?
et donc que vaut p(N n N n N n N)  ?

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 16:26

tu ne réponds plus..
je m'absente, je reviens voir tes réponses ce soir.

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 16:33

Désolée mon message ne s'était pas envoyé

p(N) = p(AnN) + p(BnN) = \frac{1}{10} + \frac{3}{4} = \frac{17}{20}

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 16:34

Si je comprends bien, ça signifie que la probabilité de tomber sur au moins une boule rouge sur 4 tours est de \frac{3}{20} ?

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 16:45

Lisahaha @ 09-01-2022 à 16:34

Si je comprends bien, ça signifie que la probabilité de tomber sur au moins une boule rouge sur 4 tours est de \frac{3}{20} ?

non, ça n'est pas ça.


p(N)  =  1  -   p(R)  =  17/20      d'accord.
N est l'événement contraire de  R,  donc p(N) = 1  - p(R)

p(aucune boule rouge) = p( N  n  N  n  N  n  N ) = ?

"aucune boule rouge" est l'évenement contraire de "au moins une rouge"
donc p(au moins une rouge) =  1  - p(aucune rouge).

à ce soir.

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:09

Leile

J'essaye de comprendre mais je n'y arrive pas car je voulais faire p(N)*4 mais le résultat est plus grand que un

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:26

quand tu calcules p(A n R)  
tu écris  p(A n R) =  1/6   *   2/5  =  2/30  = 1/15
tu as multiplié les probas.

(sur l'arbre, pour calculer la proba d'une issue, tu multiplies toutes les probas  que tu trouves sur le chemin qui mène à cette issue.)

ainsi p(N) = 17/20  
p( N   n  N)  =  17 / 20   *    17/20   =  (17/20)2    ( et non  17/20  *  2)  
OK ?
alors à ton avis
p( N n N n N n N) = ?

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:33

Haaa d'accord donc ça fait(17/20)4 donc 83521/160000 ≈ 0,52

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:34

oui,
p(aucune boule rouge) environ égale à  0,522

il te reste à répondre à la question :
p(au moins une boule rouge) =  ?

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:34

Et la je peux dire que la probabilité de tomber sur au moins une boule rouge sur 4 tours est de 76 479/160 000 ?

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:37

tu trouves combien ?

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:38

Je trouve ≈0,47,8

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:39

0,478

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:41

oui,
tu aurais pu écrire aussi
p(au moins une R) ≈  1  -  0,522

tu vois qu'en passant par l'événement contraire, on a fait peu de calculs.

D'autres questions ?

Posté par
Lisahahare : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:42

Merci beaucoup d'avoir pris du temps pour m'aider, tout est clair je n'ai pas d'autres questions. Bonne soirée

Posté par
Leilere : Probabilité urnes et boules 09-01-22 à 18:43

je t'en prie,
bonne soirée à toi aussi.
A une prochaine fois peut-être.


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