Bonjour à tous,
J'ai un devoir à rendre mais j'ai été absent aux cours, donc ce n'est pas évident. Merci de votre aide.
Certains noyaux gardent indéfiniment la même composition : ce sont des noyaux stables. D'autres se désintègrent spontanément, ce sont des noyaux instables radioactifs. On considère un noyau radioactif dont la probabilité de se désintégrer dans une unité de temps est p=0,07. On observe ce noyau sur 200 unités de temps, et on se demande quel temps on doit attendre en moyenne pour qu'il se désintègre.
On désigne par T la variable aléatoire donnant le temps d'attente de la désintégration du noyau, s'il se désintègre pendant ses 200 unités de temps, et prenant la valeur 0 sinon.
A- Etude d'une simulation
1- Justifier que la formule partie entière (nombre aléatoire + 0,07) permet de simuler la désintégration ou non d'un tel noyaux pendant une unité de temps.
2- on souhaite simuler le comportement d'un noyau pendant 200 unités de temps.
a) Créer un algorithme qui simule le comportement d'un noyau jusqu'à sa désintégration, en limitant l'observation à 200 unités de temps et qui fait afficher la valeur de T.
b) le programmer sur une calculatrice, un logiciel ou un tableur. Relever une dizaine de ces temps d'attente. Quel commentaire peut-on faire ?
3- Temps d'attente moyen
a) modifier l'algorithme pour simuler le comportement de 150 noyaux radioactifs (se comportant de façon indépendante et identique) et faire afficher le temps d'attente moyen sur ces 150 noyaux.
b) Programmer cet algorithme et observer sur différents échantillons les temps d'attente moyens obtenus. Commenter ces résultats.
B- modélisation
1-a) Déterminer la probabilité P(T=0).
b) Déterminer P(T=1), P(T=2), P(T=10), P(T=200)
c) Exprimer P(T=k), pour tout entier k tel que 1k200.
d) à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice, obtenir une valeur approchée de E(t). Comparer avec les résultats obtenus dans la partie A.
2- Généralisation
On observe le comportement d'un noyau sur n unités de temps, n1, et on désigne par Tnla variable aléatoire donnant le temps d'attente de la désintégration du noyau, s'il se désintègre pendant ces n unités de temps, et prenant la valeur 0 sinon.
a) exprimer E(Tn) en fonction de n (à l'aide du symbole )
b) Calculer p*E(Tn) pour de très grandes valeurs de n à la calculatrice ou avec un logiciel. Quelle conjecture peut-on émettre pour E(Tn)quand n prend de très grandes valeurs ?
Vérifier que P(Tn=k)=1
Pour la question A1, voici ce que j'ai écrit mais je ne suis vraiment pas sûr de moi :
A l'instant 1 nous avons :
- probabilité que le noyau de désintègre : p (=0,07)
- probabilité qu'il ne se désintègre pas : 1-p
A l'instant 2 nous avons la même chose.
Soit 1: noyau désintégré
et 0 : noyau non désintégré
prenons un nombre aléatoire entre 0 et 1. La fonction "nombre aléatoire +p" se situe sur l'intervalle [p;1+p]
sa partie entière sera 0 sur l'intervalle [p;1[ et 1 sur l'intervalle [1;1+p]
La formule partie entière (nombre aléatoire + 0,07) permet bien de simuler la désintégration ou non du noyau pendant une unité de temps.
Merci pour vos remarques
bonjour
je vais essayer de t'aider, mais pas sûre d'aller au bout... je bloque sur le sens le la question B2b)
note : j'ai utilisé algobox pour les programmes (je ne pourrais pas t'aider pour la calculatrice)
A1) je suis d'accord avec toi
A2a) Créer un algorithme qui simule le comportement d'un noyau jusqu'à sa désintégration, en limitant l'observation à 200 unités de temps et qui fait afficher la valeur de T.
on veut T en sortie, i.e. le nombre de périodes de temps nécessaires à la désintégration.
pour cela, on simule un nombre par FLOOR(RANDOM()+0.07)
si ce nombre =0 alors pas de désintégration --> T augmente de 1
si ce nombre = 1 alors désintégration --> on sort d'une boucle (laquelle?) et on affiche T
liste toutes les variables qui te sont nécessaires
quelles initialisations pour quelles variables ?
comment tu définis la boucle ? (test de sortie : relis bien l'énoncé)
que proposes-tu ?
écris en langage naturel si tu veux, dans un premier temps, juste pour organiser les étapes.
Pour la question 2a)
soit T=0
début de boucle
soit X=partie entière (nombre aléatoire(0;1)+0,07)
soit T=T+1
si X=1
on affiche T
fin de boucle
si T=200
on affiche "pas de désintégration"
fin de boucle
si X=0
retour au début de la boucle
Fin
Merci de vos conseils
il faut revoir la structure générale de ton algo :
- déclaration de variables (tu en as réservée 2, X et T, mais il en faut d'autres) - j'en ai utilisé 4
- initialisation de certaines variables
- traitement : boucles, calculs, tests...
- affichage
---
1) l'instruction "fin de boucle" ne convient pas : il faut la prévoir (l'anticiper) dans un test inhérent à la boucle.
ce test peut porter sur une variable D, par ex., variable qui contient :
- soit 0 si pas désintégration ===> on continuera à faire tourner la boucle
- soit 1 si désintégration ===> on sortira de la boucle et on affichera T
à combien tu vas initialiser D ?
à quel moment il va changer de valeur ?
2) l'instruction "si" doit avoir cette structure :
si (la condition est remplie)
alors "on fait ceci"
sinon "on fait cela"
fin si
3) début de boucle et retour au début de la boucle : ne convient pas
utilise, par ex, l'instruction TANTQUE... FIN TANT QUE
tu définis ainsi une boucle,
qui tournera automatiquement tant que la condition précisée sera vérifiée
TANT QUE ......(conditions qui portant sur D et le_nombre_d'itérations)
... calculs et tests
FIN TANT QUE
4) "pas de désintégration" : alors il faut afficher T= ...??
j'espère être claire :s
tu fais un autre essai ?
pas de réponse ?
je te propose ce qui suit pour le 2a) (algobox)
pose des questions si besoin; tu pourras t'en servir pour 3a)
1 VARIABLES
2 D EST_DU_TYPE NOMBRE
3 X EST_DU_TYPE NOMBRE
4 T EST_DU_TYPE NOMBRE
5 i EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 D PREND_LA_VALEUR 0 // 1 si désintégration
8 T PREND_LA_VALEUR 1
9 i PREND_LA_VALEUR 0 // compteur de boucle
10 TANT_QUE ( D==0 et i<=200) FAIRE // 2 conditions de sortie de tests
11 DEBUT_TANT_QUE
12 X PREND_LA_VALEUR floor(random()+0.07)
13 SI (X==0) ALORS
14 DEBUT_SI
15 T PREND_LA_VALEUR T+1
16 i PREND_LA_VALEUR i+1
17 FIN_SI
18 SINON
19 DEBUT_SINON
20 D PREND_LA_VALEUR 1
21 FIN_SINON
22 FIN_TANT_QUE
23 SI (D==0) ALORS
24 DEBUT_SI
25 T PREND_LA_VALEUR 0
26 FIN_SI
27 AFFICHER "T = "
28 AFFICHER T
29 FIN_ALGORITHME
en attendant je me suis amusée à faire la démonstration de la conjecture B2b)
(démonstration qui n'est pas demandée par l'exo, mais bon, fallait bien passer le temps à attendre le retour de bigben)
on pose q = 1-p
---
soit la fonction
f(q) = 1 + q + q² + q³ + ... qn
f '(q) = 1 + 2q + 3q² + .... n qn-1
d'où E(Tn) = p f '(q)
---
la fonction f est la somme des (n+1) termes consécutifs d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison q
donc
d'où, en dérivant ce quotient, puis en remplaçant q par 1-p
d'où
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