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probabilités

Posté par
bigben
03-04-17 à 10:04

Bonjour à tous,
J'ai un devoir à rendre mais j'ai été absent aux cours, donc ce n'est pas évident. Merci de votre aide.


Certains noyaux gardent indéfiniment la même composition : ce sont des noyaux stables. D'autres se désintègrent spontanément, ce sont des noyaux instables radioactifs. On considère un noyau radioactif dont la probabilité de se désintégrer dans une unité de temps est p=0,07. On observe ce noyau sur 200 unités de temps, et on se demande quel temps on doit attendre en moyenne pour qu'il se désintègre.
On désigne par T la variable aléatoire donnant le temps d'attente de la désintégration du noyau, s'il se désintègre pendant ses 200 unités de temps, et prenant la valeur 0 sinon.

A- Etude d'une simulation
1- Justifier que la formule partie entière (nombre aléatoire + 0,07) permet de simuler la désintégration ou non d'un tel noyaux pendant une unité de temps.

2- on souhaite simuler le comportement d'un noyau pendant 200 unités de temps.
a) Créer un algorithme qui simule le comportement d'un noyau jusqu'à sa désintégration, en limitant l'observation à 200 unités de temps et qui fait afficher la valeur de T.
b) le programmer sur une calculatrice, un logiciel ou un tableur. Relever une dizaine de ces temps d'attente. Quel commentaire peut-on faire ?

3- Temps d'attente moyen
a) modifier l'algorithme pour simuler le comportement de 150 noyaux radioactifs (se comportant de façon indépendante et identique) et faire afficher le temps d'attente moyen sur ces 150 noyaux.
b) Programmer cet algorithme et observer sur différents échantillons les temps d'attente moyens obtenus. Commenter ces résultats.

B- modélisation
1-a) Déterminer la probabilité P(T=0).
b) Déterminer P(T=1), P(T=2), P(T=10), P(T=200)
c) Exprimer P(T=k), pour tout entier k tel que 1\leqk\leq200.
d) à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice, obtenir une valeur approchée de E(t). Comparer avec les résultats obtenus dans la partie A.

2- Généralisation
On observe le comportement d'un noyau sur n unités de temps, n\geq1, et on désigne par Tnla variable aléatoire donnant le temps d'attente de la désintégration du noyau, s'il se désintègre pendant ces n unités de temps, et prenant la valeur 0 sinon.
a) exprimer E(Tn) en fonction de n (à l'aide du symbole \sum{})
b) Calculer p*E(Tn) pour de très grandes valeurs de n à la calculatrice ou avec un logiciel. Quelle conjecture peut-on émettre pour E(Tn)quand n prend de très grandes valeurs ?

Vérifier que \sum_{k=0}^{n}{}P(Tn=k)=1

Posté par
bigben
re : probabilités 03-04-17 à 10:11

Pour la question A1, voici ce que j'ai écrit mais je ne suis vraiment pas sûr de moi :

A l'instant 1 nous avons :
- probabilité que le noyau de désintègre : p (=0,07)
- probabilité qu'il ne se désintègre pas : 1-p

A l'instant 2 nous avons la même chose.

Soit 1: noyau désintégré
et 0 : noyau non désintégré
prenons un nombre aléatoire entre 0 et 1. La fonction "nombre aléatoire +p" se situe sur l'intervalle [p;1+p]
sa partie entière sera 0 sur l'intervalle [p;1[ et 1 sur l'intervalle [1;1+p]

La formule partie entière (nombre aléatoire + 0,07) permet bien de simuler la désintégration ou non du noyau pendant une unité de temps.

Merci pour vos remarques

Posté par
carita
re : probabilités 03-04-17 à 14:55

bonjour

je vais essayer de t'aider, mais pas sûre d'aller au bout... je bloque sur le sens le la question B2b)
note : j'ai utilisé algobox pour les programmes (je ne pourrais pas t'aider pour la calculatrice)

A1) je suis d'accord avec toi

A2a) Créer un algorithme qui simule le comportement d'un noyau jusqu'à sa désintégration, en limitant l'observation à 200 unités de temps et qui fait afficher la valeur de T.
on veut T en sortie, i.e. le nombre de périodes de temps nécessaires à la désintégration.

pour cela, on simule un nombre par FLOOR(RANDOM()+0.07)
si ce nombre =0 alors pas de désintégration --> T augmente de 1
si ce nombre = 1 alors  désintégration --> on sort d'une boucle (laquelle?) et on affiche T

liste toutes les variables qui te sont nécessaires
quelles initialisations pour quelles variables ?
comment tu définis la boucle ? (test de sortie : relis bien l'énoncé)

que proposes-tu ?
écris en langage naturel si tu veux, dans un premier temps, juste pour organiser les étapes.

Posté par
bigben
re : probabilités 03-04-17 à 16:41

Pour la question 2a)

soit T=0
début de boucle
   soit X=partie entière (nombre aléatoire(0;1)+0,07)
   soit T=T+1
      si X=1
         on affiche T
         fin de boucle
      si T=200
         on affiche "pas de désintégration"
         fin de boucle
      si X=0
         retour au début de la boucle
Fin


Merci de vos conseils

Posté par
carita
re : probabilités 03-04-17 à 17:50

il faut revoir la structure générale de ton algo :
- déclaration de variables (tu en as réservée 2, X et T, mais il en faut d'autres) - j'en ai utilisé 4
- initialisation de certaines variables
- traitement : boucles, calculs,  tests...
- affichage

---

1) l'instruction "fin de boucle" ne convient pas : il faut la prévoir (l'anticiper) dans un test inhérent à la boucle.

ce test peut porter sur une variable D, par ex., variable qui contient :
- soit 0 si pas désintégration ===> on continuera à faire tourner la boucle
- soit 1 si désintégration ===> on sortira de la boucle et on affichera T

à combien tu vas initialiser D ?
à quel moment il va changer de valeur ?

2) l'instruction "si" doit avoir cette structure :

si (la condition est remplie)
    alors  "on fait ceci"
    sinon  "on fait cela"
fin  si  

3)  début de boucle  et retour au début de la boucle : ne convient pas

utilise, par ex, l'instruction TANTQUE... FIN TANT QUE
tu définis ainsi une boucle,
qui tournera automatiquement tant que la condition précisée sera vérifiée

TANT QUE ......(conditions qui portant sur D et le_nombre_d'itérations)
... calculs et tests
FIN TANT QUE

4)  "pas de désintégration" : alors il faut afficher T= ...??

j'espère être claire :s
tu fais un autre essai ?

Posté par
carita
re : probabilités 03-04-17 à 22:22

pour info : c'est ok pour la dernière question
j'attends ta réponse pour l'algo du 2a).
a+

Posté par
carita
re : probabilités 05-04-17 à 12:33

pas de réponse ?
je te propose ce qui suit pour le  2a) (algobox)
pose des questions si besoin;  tu pourras t'en servir pour 3a)

1   VARIABLES
2     D EST_DU_TYPE NOMBRE
3     X EST_DU_TYPE NOMBRE
4     T EST_DU_TYPE NOMBRE
5     i EST_DU_TYPE NOMBRE

6   DEBUT_ALGORITHME
7     D PREND_LA_VALEUR 0     // 1 si désintégration
8     T PREND_LA_VALEUR 1  
9     i PREND_LA_VALEUR 0        // compteur de boucle

10    TANT_QUE ( D==0 et i<=200) FAIRE    // 2 conditions de sortie de tests
11      DEBUT_TANT_QUE
12      X PREND_LA_VALEUR floor(random()+0.07)
13      SI (X==0) ALORS
14                    DEBUT_SI
15                    T PREND_LA_VALEUR T+1
16                    i PREND_LA_VALEUR i+1
17                    FIN_SI
18                    SINON
19                               DEBUT_SINON
20                               D PREND_LA_VALEUR 1
21                              FIN_SINON
22      FIN_TANT_QUE

23    SI (D==0) ALORS
24                  DEBUT_SI
25                  T PREND_LA_VALEUR 0
26                  FIN_SI

27    AFFICHER "T = "
28    AFFICHER T

29  FIN_ALGORITHME

Posté par
carita
re : probabilités 05-04-17 à 21:57

en attendant je me suis amusée à faire la démonstration de la conjecture B2b)
(démonstration qui n'est pas demandée par l'exo, mais bon, fallait bien passer le temps à attendre le retour de bigben)

E(T_n) = \sum_{k=1}^n k p (1-p)^{k-1}  

on pose q = 1-p

E(T_n) = \sum_{k=1}^n k. p. q^{k-1}  =  p \sum_{k=1}^n k q^{k-1} = p~ [1*q^0+ 2q^1 + 3q^2 + ... + nq^{n-1} ]
 \\ 
 \\ E(T_n) = p~ [1+ 2q + 3q^2 + ... + nq^{n-1} ]  
---

soit la fonction
f(q) = 1 + q + q² + q³ + ... qn
f '(q) = 1 + 2q + 3q² + .... n qn-1  

d'où  E(Tn) =  p f '(q)
---

la fonction f est la somme des (n+1) termes consécutifs d'une suite géométrique de 1er terme 1 et  de raison q

donc  f(q) = \dfrac{q^{n+1} - 1}{q-1}   

d'où, en dérivant ce quotient,  puis en remplaçant q par 1-p

f ' (q) = \dfrac{1~-~(np+1)(1-p)^{n}}{p^2}   

d'où  
E(T_n)  = \dfrac{1}{p} [1~-~(np+1)(1-p)^{n}]
 \\ 
 \\ \lim_{n\to \infty} E(T_n)  = ...~ la~conjecture~trouvée  

Posté par
arthur78150
re : probabilités 05-05-19 à 23:21

Comment faites vous pour l'ensemble de la question 1 du grand B : Modelisation ?



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