salut

"Aucune case vide" équivaut à "dans chaque case il y a au moins 1 boule"

Donc lorsqu'on part de 9 boules, on sait que toutes les situations où aucune case n'est vide peuvent être modélisés par l'action suivante : on met d'abord une boule dans chaque case, et il nous reste 5 boules que l'on dispose comme on veut.
On a donc 5 boules dans 4 cases soit 4^5 possibilités si je ne me trompe pas...

Par ailleurs je ne comprends pas ce que tu as écrit : Card(A) = 1^5 * 1^4 * 1^2
1^5, 1^4, etc c'est égal à 1

salut

si les boules sont indiscernables et les cases discernables,   il faut au moins une boules dans chaque cases pour demarrer en le faisant, il reste  5 boules à repartir de  C(5+3,3)=
C(8,3) = 56 facons .   et C(9+3,3)= C(12,3) =220 possibilités   et P = 56/220

si les boules sont discernables et les cases discernables :
les possibilités de distributions sont au total de  : 4⁹
le nombre de cas favorable est obtenu en calculant le nombre de surjections d'un ensemble de cardinal 9 vers un ensemble de cardinal 4 .
P = (-1)^4-k*C(4,k)*k⁹ / 4⁹   k compris entre 0 et 4.

(je pense pas que cet exo soit à sa place dans le forum)

pour completer le post précedent on peut faire deux type  de calcul pour le cas boules discernables avec au moins une boule dans chaque case.

1  1  1  6  ---> 4*9*8*7*1 = 2016
2  1   1  5 -->  12*36*21*2 = 18144
2  2   2  3  ---> 4*84*15*6 = 30240
2  2   1  4 --> 12*36*21*5 = 45360
1  3   1   4 --> 12*9*56*5 = 30240
2  1   3   3 --> 12*36*7*20 = 60480

qui donne un total de cas favorables de 186480

l'application de la formule donnée dans le post precedent donne aussi 186480 cas
favorables   et donc    P = 186480/ 4⁹ = 0,711