bonjour
Qui peux aider une jeune maman nulle en proba et qui prépare un diplome a distance.cela fait 2 fois que je refais ce cours et la c'est ma derniere chance ..svp j'ai vraiment besoin d'aide
voici l'ennnoncé je vous serai tres reconnaissante


Devoir II
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A remettre le 20 avril
1. a) Montrer que Γ(1/2) = √x (en faisant la substitution y =√2x
b) Pour quelle valeur de c ε R  la fonction c√y/eY//4, y > 0 devient-elle une fonction de densité
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. Une machine a confectionné 1000 paquets dont les masses sont dis¬tribuées normalement. La masse moyenne des sachets est de 500 gr avec un écart-type de 25 gr. Combien de paquets pèsent (Utiliser la table de la page 200 du livre de Ross)
a) de 480 à 550 gr?         b) entre 480 et 490 gr?
b) plus de 450 gr? c) moins de 475 gr?
e) Entre quelles limites sont compris les 9/10 de l'échantillon.

3. Soient X et Y deux variables aléatoires de fonction de densité conjointe fx,v(x,y) = k(3x + y}, 0 < x,y < l.
a) Déterminer la valeur de k.
b) Trouver les densités marginales fx(x) et fy(y).
c) Calculer Cov (X, Y).
d) Trouver la densité de X\Y =1/2 et E[X\Y =1/2}.

4. Soit X une variable aléatoire de fonction de densité fx(X) = k(l — x)3, 0<x<l.
a) Déterminer la valeur de k.
b) Trouver Fx(x), 0 < x < 1.
c) Trouver E[X] et Var(X).
d) Calculer P(X <1/3) et P(X <1/3 | X < 2/3).

5. Soit X une variable aléatoire de densité fx(X]=X/8 pour 0 < x < 4. Déterminer la densité fy (y) de Y =sin(X).

6. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre A > 0. On pose Y = [X], où [x] désigne la partie entière de x appartenant a R.
a) Calculer la loi suivie par Y.
b) Soit Z = X — Y. Calculer l'espérance et la variance de Z                                  

7. Soit X une variable aléatoire continue de densité fx(x] =1/b e -(x-a)/b si x > a, où a > 0 et b > 0.
a) Vérifier que fx est bien la densité d'une variable aléatoire continue.
b) Trouver E[X] et Var(X).
c) Soit Y = min(Xi,X2,X3s,X4) où Xi,X2,X3,X4 sont des variables aléatoires indépendantes de même loi que X. Trouver Fy(x), et E[Y}.

8. Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telle que
P(X = k | Y = n) = 1/(n+1)        pour 0 ≤ k ≤ n et 0 sinon.
v
a) Trouver la loi du couple (X, Y) en fonction de la loi de Y.
b) Montrer que P(X ≤ Y} = l.
c) Soit a ε ]0,1[. On suppose que P(Y = n} = (1 - a)2(n + l)an. Trouver les lois de X puis de Y — X.

9. Soit (Xn) n€N* une suite de variables aléatoires indépendantes qui vérifient      P(Xn = -1) = P(Xn = 1) = 1/2. On définit une autre suite (Yn ) n€N par Yl = Xl et Yn = aYn+1 + Xn, a e R.
a) Exprimer Yn en fonction de X1, X2,. .., Xn.
b) Calculer l'espérance et la variance de Yn, puis la covariance Cov(yn, Yn+m)


a) Trouver la fonction de densité de la variable Y = ex.
b) Trouver la fonction de densité de la variable Z = X2