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Niveau Licence Maths 1e ann
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Probabilités

Posté par
Hxn 11-04-18 à 15:51

Bonjour

Voici un exercice, je suis bien bloqué, si vous pouvez m'aider, je vous remercie d?avance.

1-On dispose de n boules. on met chacune d'elles, indépendamment des autres, dans la boite A avec probabilité p, et dans la boite B avec probabilité 1 -p. on désigne par X (resp. Y ) le nombre de boules que l'on a ainsi placées dans A (resp. dans B).
Préciser les lois des v. a. X et Y . Montrer que X et Y ne sont pas indépendantes.

2- on dispose d'un nombre aléatoire Z de boules, où  Z suit la loi de Poisson de paramètre \lambda >0. on refait les mêmes opérations que ci-dessus avec les Z boules, les tirages étant bien sûr indépendants de la valeur de Z. Montrer que cette fois X et Y sont indépendantes, X de loi de Poisson de paramètre \lambda p , Y de loi de Poisson de paramètre \lambda \left( 1-p \right). Sachant que Z=n, montrer que X et Y ne sont pas indépendantes.

***niveau modifié***

Posté par
matheuxmatoure : Probabilités 11-04-18 à 15:59

bonjour

pour le 1 ... on répète n fois ... cela ne t'évoque rien ?

Posté par
Hxnre : Probabilités 11-04-18 à 16:20

pas vraiment

Posté par
matheuxmatoure : Probabilités 11-04-18 à 16:22

tu es en L2 de math et le schéma de Bernoulli ne t'évoque rien ?

Posté par
Hxnre : Probabilités 11-04-18 à 19:13

Je suis en 1 er année, c'est juste une erreur et je viens de reprendre les études en maths en plus en terminal je n'ai pas bien travaillé là-dessus.

Bon si j'ai bien compris :

P\left( X=k \right)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{\left( 1-p \right)}^{n-k}}

P\left( Y=k \right)=C_{n}^{k}{{p}^{n-k}}{{\left( 1-p \right)}^{k}}

Posté par
matheuxmatoure : Probabilités 11-04-18 à 19:17

oui

mais faudra quand même rattraper le programme de TS si tu veux avoir une chance de suivre

Posté par
Hxnre : Probabilités 11-04-18 à 20:45

Dans les autres matières, tout va bien sauf la probabilité, car en terminal j'ai été malade et je n'arrive pas à trop suivre.

Pour montrer l'indépendance, on doit montrer que :  P\left( X\cap Y \right)\ne P\left( X \right)P\left( Y \right).

Alors je vais essayer:

P\left( X=0\cap Y=1 \right)=P\left( X=0 \right)=P\left( Y=1 \right)=1-p\ne P\left( Y=1 \right)P\left( X=0 \right)={{\left( 1-p \right)}^{2}}

C'est bon ou bien je suis en train de dire n'importe quoi  ?

Posté par
Hxnre : Probabilités 12-04-18 à 16:55

Bonjour,
Y a-t-il quelqu'un pour voir si c'est bon ?

Posté par
verdurinre : Probabilités 12-04-18 à 18:21

Bonsoir,
un premier point : X et Y sont des variables aléatoires et non des événements. L'écriture XY n'a pas de sens dans ce cadre.

Formellement montrer que X et Y sont indépendantes revient à montrer que
        quelques soient A et B des sous-ensembles (mesurables) de \R
        \mathbb{P}(X\in A\text{ et }Y\in B)=\mathbb{P}(X\in A)\times\mathbb{P}(Y\in B).

Moins formellement dire que X et Y sont indépendantes signifie que la connaissance du résultat de X n'apprend rien sur le résultat de Y.

Ici on a n boules et on en met un certain nombre (la valeur de X) dans la boite A et le reste (la valeur de Y) dans la boite B.
Peut-on prévoir la valeur de Y connaissant celle de X ?
Par exemple : si on a 10 boules et qu'on en met sept dans la boite A,  combien y en a-t-il dans la boite B ?

Posté par
matheuxmatoure : Probabilités 12-04-18 à 18:28

On peut aussi procéder en disant que si X et Y étaient indépendantes, on aurait

V(X+Y) = V(X) + V(Y)

or que vaut X+Y ... et remarquer que sa variance est nulle.

quant aux deux autres variances, c'est du cours.

mm

Posté par
Hxnre : Probabilités 12-04-18 à 20:15

Bonjour,

Avant de répondre à ta question, je n'ai pas bien compris le fait de mettre dans la boite A avec probabilité p, et dans la boite B avec probabilité 1-p.

Avec quelle façon on va mettre ces boules dans les boites ?

Posté par
carpediemre : Probabilités 12-04-18 à 20:24

avec la main  ...

avec une machine ... comme au loto par exemple ...

Posté par
verdurinre : Probabilités 12-04-18 à 20:36

Citation :
Avec quelle façon on va mettre ces boules dans les boites  ?

On dispose d'une pièce truquée qui a un côté marqué A et un côté marqué B.
Le côté A sort avec une probabilité p.

Pour chaque boule on lance la pièce et on met la boule dans l'urne indiquée.
On fait donc cette opération n fois.

Posté par
Hxnre : Probabilités 12-04-18 à 20:37


tu dis "Moins formellement dire que X et Y sont indépendantes signifie que la connaissance du résultat de X n'apprend rien sur le résultat de Y. "

Mais moi je ne vois pas un souci qui m'empêche de prévoir la valeur de Y connaissant celle de X.
C'est pour ça que je cherche à comprendre " mettre dans la boite A avec probabilité p, et dans la boite B avec probabilité 1-p".

Posté par
Hxnre : Probabilités 12-04-18 à 20:41

Maintenant j'ai compris, dans ce cas on peut connaitre le nombre de boules qui se trouve dans la boite B si l'on connait celui dans la boite A

Posté par
verdurinre : Probabilités 12-04-18 à 21:17



Et tu peux remarquer que ce n'est plus le cas pour la seconde question.
En effet on ne connaît plus le nombre total de boules.

Posté par
Hxnre : Probabilités 12-04-18 à 21:41

Oui, mais comment on va se servir pour l'indépendance ?

Avec la variance je n'arrive pas :

V\left( X+Y \right)=V\left( n \right)=E\left( {{n}^{2}} \right)-{{E}^{2}}\left( n \right)=?

V\left( X \right)=p\left( 1-p \right)

V\left( Y \right)=p\left( 1-p \right)

J'ai essayé ceci :

P\left( X=0\text{ et }Y=0 \right)={{\left( 1-p \right)}^{n}}+{{p}^{n}}\ne {{\left( 1-p \right)}^{n}}{{p}^{n}}=P\left( X \right)P\left( Y \right)

Posté par
verdurinre : Probabilités 12-04-18 à 22:20

Avec tout le respect que je doit à matheuxmatou son indication n'est pas vraiment utile.

En supposant que p]0;1[ on a P(X=n et Y=n)=0 car X+Y=n0.
Or P(X=n)=pn 0 et P(Y=n)=(1-p)n 0.
Si p{0;1} les v.a. sont constantes et donc indépendantes. Mais il n'y a plus de problème de probabilité, juste des certitudes.

Posté par
Hxnre : Probabilités 12-04-18 à 23:38

Bonjour,

Je sais que j'ai écrit n'importe quoi.
Je cherche à comprendre :

P\left( X=0\text{ et }Y=0 \right)=?

Je cherche aussi à comprendre pourquoi P\left( X=n\text{ et }Y=n \right)=0   car  X+Y=n\ne 0

Posté par
verdurinre : Probabilités 13-04-18 à 00:19

Disons que tu as 3 boules à placer.
Si il y en a 0 dans la boite A alors il y en a 3 dans la boite B.
Et il est impossible qu'il y en ai 0 dans la boite A et 0 dans la boite B.
Donc
P\left( X=0\text{ et }Y=0 \right)=0

Or P( X=0)=(1-p)^3 et P( Y=0)=p^3.

Si
p\neq0 et p\neq1 alors p^3(1-p)^3\neq 0.
d'où
P\left( X=0\text{ et }Y=0 \right)\neq P( X=0)\times P( Y=0).

Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.

Posté par
matheuxmatoure : Probabilités 13-04-18 à 09:28

verdurin @ 12-04-2018 à 22:20

Avec tout le respect que je doit à matheuxmatou son indication n'est pas vraiment utile.

En supposant que p]0;1[ on a P(X=n et Y=n)=0 car X+Y=n0.
Or P(X=n)=pn 0 et P(Y=n)=(1-p)n 0.
Si p{0;1} les v.a. sont constantes et donc indépendantes. Mais il n'y a plus de problème de probabilité, juste des certitudes.


c'était juste une autre approche... ce que tu dis suffisait aussi

Posté par
Hxnre : Probabilités 13-04-18 à 17:34

Bonjour,

je te remercie verdurin pour les explication , c'est bien claire .

Pour la deuxième question, montrer que X et Y sont indépendantes revient à montre que :

P\left( X=k\text{ et }Y=l \right)=P\left( X=k \right)P\left( Y=l \right)

Soit  N=k+l  , on a :

P\left( X=k\text{ et }Y=l \right)=P\left( X=k\text{ et N}=k+l \right)=P\left( X=k\backslash N=k+l \right)P\left( X=k+l \right)

Car  \displaystyle P\left( X=k\text{  }\!\!\backslash\!\!\text{ N}=k+l \right)=\frac{P\left( X=k\text{ et }N=k+l \right)}{P\left( N=k+l \right)}

Quand  N=k+l  la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre
k+l  et  p  ,  donc:

\left( X=k\text{ et }Y=l \right)=C_{k+l}^{k}{{\left( 1-p \right)}^{l}}{{p}^{k}}P\left( N=k+l \right)

Puisque N suit une loi de poisson alors de paramètre \lambda  :

\displaystyle \left( X=k\text{ et }Y=l \right)=C_{k+l}^{k}{{\left( 1-p \right)}^{l}}{{p}^{k}}{{e}^{-\lambda }}\frac{{{\lambda }^{k+l}}}{\left( k+l \right)!}=P\left( X=k \right)P\left( Y=l \right)

Pour la deuxième partie de la question

Maintenant Z=N=n

\displaystyle \left( X=k\text{ et }Y=l \right)=C_{k+l}^{k}{{\left( 1-p \right)}^{l}}{{p}^{k}}P\left( N=n \right)=\displaystyle C_{k+l}^{k}{{\left( 1-p \right)}^{l}}{{p}^{k}}{{e}^{-\lambda }}\frac{{{\lambda }^{n}}}{n!}\ne P\left( X=k \right)P\left( Y=l \right)

Posté par
verdurinre : Probabilités 13-04-18 à 18:31

Bonsoir,
je suis d'accord avec ton calcul de P(X=k et Y=l).
Mais tu ne montres pas que que ce résultat est égal à P(X=k)P(Y=l).

Pour le démontrer il faut calculer P(X=k) et P(Y=l).
C'est à dire démontrer que X suit une loi de Poisson de paramètre p.

Posté par
Hxnre : Probabilités 13-04-18 à 19:24

Bonsoir,

Justement, là je suis bloqué, et je suis en train de réfléchir comment calculer P(X=k)  et P(Y=l).

On doit trouver :     P\left( X=k \right)={{e}^{-\lambda p}}\frac{{{\left( \lambda p \right)}^{k}}}{k!}      et       P\left( Y=l \right)={{e}^{-\lambda \left( 1-p \right)}}\frac{{{\left( \lambda \left( 1-p \right) \right)}^{l}}}{l!}

Posté par
verdurinre : Probabilités 13-04-18 à 19:55

\text{P}(X=k)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\text{P}\bigl((X=k)\cap(Z=k+\ell)\bigr)

Posté par
Hxnre : Probabilités 13-04-18 à 22:19

ah ok donc :

P\left( X=k \right)=\sum\limits_{l=0}^{+\infty }{P\left( \left( X=k \right)\cap \left( Z=k+l \right) \right)}=\sum\limits_{l=0}^{+\infty }{C_{k+l}^{k}}{{\left( 1-p \right)}^{l}}{{e}^{-\lambda }}\frac{{{\lambda }^{k+l}}}{\left( k+l \right)!}={{e}^{-\lambda }}\frac{{{\left( p\lambda  \right)}^{k}}}{k!}\sum\limits_{l=0}^{+\infty }{\frac{{{\left( \lambda \left( 1-p \right) \right)}^{l}}}{l!}}

Comme   \forall x\in \mathbb{R}     {{e}^{x}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{n!}}

Alors :   P\left( X=k \right)={{e}^{-\lambda }}\frac{{{\left( p\lambda  \right)}^{k}}}{k!}{{e}^{\lambda \left( 1-p \right)}}={{e}^{-\lambda p}}\frac{{{\left( p\lambda  \right)}^{k}}}{k!}

et on fait la même chose pour P(Y=l)

je te remercie verdurin et dis moi si c'est bon pour l'autre partie

Posté par
verdurinre : Probabilités 14-04-18 à 15:30

La seconde partie de la question2) est identique à la question 1).
On peut remarquer que X et Y sont indépendantes si on sait que Z=0.

Pour une rédaction correcte il faut justifier l'égalité que j'ai donné hier pour le calcul de P(X=k) et il faut vérifier que P((X=k)(Y=l))=P(X=k)P(Y=l).

Posté par
Hxnre : Probabilités 15-04-18 à 01:26

Bonjour,

Comme X et Y sont à valeur dans \mathbb{N} , on peut dire dans la démonstration qu'on va déterminer les lois marginales de X et Y à partir de la loi conjointe de X et Y ?


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