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Niveau Maths sup
Probabilités
Posté par sheigh
Bonjour à tous, voici une première partie de mon exo, en vous remerciant par avance.
Une particule se déplace dans un graphe de 3 sommets notés 1,2,3. A l'instant 0, la particule est sur le sommet 1. A l'instant n=1, elle saute aléatoirement sur un sommet. On suit le processus à n=1,2,3,4 etc.
La particule saute sur un nouveau sommet (éventuellement le même) de manière aléatoire selon les probabilités suivantes :
- si la particule est sur le sommet 1 à l'instant n, la probabilité qu'elle saute à l'instant n+1 sur le sommet 2 est 1/2 et la probabilité qu'elle saute sur le sommet 3 est 1/2.
- si la particule est sur le sommet 2 à l'instant n, la probabilité qu'elle saute à l'instant n+1 sur le sommet 1 est 1/2 et la probabilité qu'elle saute sur le sommet 3 est 1/2.
- si la particule est sur le sommet 3 à l'instant n, la probabilité qu'elle saute à l'instant n+1 sur le sommet 1 est 1/4 et la probabilité qu'elle saute sur le sommet 2 est 1/4 et la probabilité qu'elle reste sur le sommet 3 est 1/2.
On définit une suite (Xn) de variables aléatoires à valeurs dans telles que pour tout entier n et pour tout k
Xn = k si la particule se trouve sur le sommet k du graphe après le nième saut.
1) Donner pour P(X0 =1), P(X0 =2), P(X0 =3), P(X1 =1), P(X1 =2), P(X1 =3)
P(X0=1) =
X0=1 : "la particule est au sommet 1 après zéro saut donc à l'instant zéro, et l'énoncé dit qu'à cet instant la particule est en 1. Alors P(X0=1) = 1 et P(X0=2) =P(X0=3) =0
P(X1=1) =
X1=1 : la particule est en 1 après un saut, or d'après l'énoncé il n'y a qu'en 3, la probabilité que la particule reste sur le même sommet donc P(X1=1) =0.
P(X1=2) =P(X1=3) =1/2
2) Justifier les égalités suivantes en indiquant la formule utilisée:
P(Xn+1=1) =1/2P(Xn=2) + 1/4 P(Xn=3)
P(Xn+1=2) =1/2P(Xn=1) + 1/4 P(Xn=3)
P(Xn+1=3) =1/2P(Xn=1) + 1/2 P(Xn=2) + 1/2 P(Xn=3)
En faisant un arbre, j'arrive plus ou moins à voir, mais je n'arrive pas à sortir les proba conditionnelles.
3) Pour alléger, on posera an= P(Xn=1) , bn=PP(Xn=2) et cn = P(Xn=3).
On note Yn, la matrice colonne
Yn = =
Montrer qu'il existe une matrice A de M3(R) telle que Yn+1 = A*Yn puis en déduire que Yn = A*Y0
alors
A =
Avec la récurrence ok
5)Donner pour n , cn= P(Xn =3)
tiens je vois que j'ai évidemment fait une faute :
carpediem @ 07-06-2018 à 12:16
salut
en notant X = X_n et Y = X_{n + 1} pour ne pas m'em... avec les indices
 = P(Y = k $ et $ X = 1) + P(Y = k $ et $ X = 2) + P(Y = k $ et $ X = 3) = P_{X = 1}(Y = k){\red P(X = 1)} + ...)
salut
en notant X = X_n et Y = X_{n + 1} pour ne pas m'em... avec les indices
Bonjour à tous,
Je ne sais pas si on a le droit de reprendre un sujet soi-même ouvert, aujourd'hui je suis plus apte à le faire qu'à cette époque, si ce n'est pas possible je le recopierai dans un autre topic.
Donc le voici avec plus de clarté et mes réponses à la suite du message :
Une particule se déplace dans un graphe de 3 sommets notés 1,2,3. A l'instant 0, la particule est sur le sommet 1. A l'instant n=1, elle saute aléatoirement sur un sommet. On suit le processus à n=1,2,3,4 etc.
La particule saute sur un nouveau sommet (éventuellement le même) de manière aléatoire selon les probabilités suivantes :
- si la particule est sur le sommet 1 à l'instant n, la probabilité qu'elle saute à l'instant n+1 sur le sommet 2 est 1/2 et la probabilité qu'elle saute sur le sommet 3 est 1/2.
- si la particule est sur le sommet 2 à l'instant n, la probabilité qu'elle saute à l'instant n+1 sur le sommet 1 est 1/2 et la probabilité qu'elle saute sur le sommet 3 est 1/2.
- si la particule est sur le sommet 3 à l'instant n, la probabilité qu'elle saute à l'instant n+1 sur le sommet 1 est 1/4 et la probabilité qu'elle saute sur le sommet 2 est 1/4 et la probabilité qu'elle reste sur le sommet 3 est 1/2.
On définit une suite (Xn) de variables aléatoires à valeurs dans {1,2,3} telles que pour tout entier n et pour tout k appartenant à {1,2,3}, Xn = k si la particule se trouve sur le sommet k du graphe après le n-ième saut.
1) Donner P(X0 =1), P(X0 =2), P(X0 =3), P(X1 =1), P(X1 =2), P(X1 =3)
2) Justifier les égalités suivantes en indiquant la formule utilisée:
P(Xn+1=1) =1/2P(Xn=2) + 1/4 P(Xn=3)
P(Xn+1=2) =1/2P(Xn=1) + 1/4 P(Xn=3)
P(Xn+1=3) =1/2P(Xn=1) + 1/2 P(Xn=2) + 1/2 P(Xn=3)
3) Pour alléger, on posera an= P(Xn=1) , bn=PP(Xn=2) et cn = P(Xn=3).
On note Yn, la matrice colonne :
=
Montrer qu'il existe une matrice A de M3(R) telle que Yn+1 = A*Yn.
4) En déduire que Yn = A*Y0
5)Donner pour n>=1, cn=P(X=3), justifier la réponse.
6)a) Calculer A^2 puis A^2*(3A-I3), en déduire que A^3=1/2 A^2+1/2 A
b)Montrer que pour tout entier n>=1, il existe des réels un et vn tel que An=unA2+vnA
c) Exprimer un+1 et vn+1 en fonction de un et vn puis un+2 en fonction de un+1 et un.
d) calculer un et vn, les suites un et vn sont-elles convergentes ?
e) Déterminer les valeurs de an et bn.
il fallait effectivement continuer ici ...
et alors ? qu'as-tu fais ?
tu as déjà la matrice A ... donc yapluka ...
1) P(Xo=1) = 1, la particule se trouve sur le sommet 1 après 0 saut.
P(Xo=2)=P(Xo=3)=0
P(X1=1)= la particule se trouve sur le sommet 1 après 1 saut
P(X=1)=P(Xn=2Xn+1=1)+P(Xn=3
Xn+1=1)=1/4
Par le même procédé, P(X1=2)=1/4 et P(X1=3)=1/2
2)On utilise la formule des probabilités totales, je ne détaille pas j'ai compris.
3)
Yn+1= * Yn, je note la matrice trouvée A.
4) récurrence ok
5) alors là je ne sais pas si c'est bon:
cn=P(Xn=3) pour n>=1
Yn=An*Yo
Y3=A^3*Yo
avec Yo=
j'ai donc calculé Y3=
d'où cn=P(Xn=3)=1/2
6a) ok pour A^2 puis A^2*(3A-I3), je pense avoir fait des erreurs de calculs car je n'arrive pas à trouver A^3.
b)récurrence ok, j'ai bien les valeurs selon un etc.
c)
d) Pourquoi est demandé an et bn à cette question, sinon je compte utiliser la même méthode en 5 si j'ai bien bon.
quand on demande de calculer A^2 puis A^2(3A - I) il nous faut évidemment ce dernier résultat qui doit être remarquable !!! (on remarque que ...)
carpediem @ 18-04-2019 à 10:27
quand on demande de calculer A^2 puis A^2(3A - I) il nous faut évidemment ce dernier résultat qui doit être remarquable !!! (on remarque que ...)
quand on demande de calculer A^2 puis A^2(3A - I) il nous faut évidemment ce dernier résultat qui doit être remarquable !!! (on remarque que ...)
Oui je vais reprendre mes calculs car pour l'instant ce n'est pas le cas.
Sinon à la question 5, c'est de cette façon qu'il faut répondre ?