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Niveau maths spé
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probabilités

Posté par
bergamot
18-05-20 à 15:47

Bonjour, je suis en train de faire un exercice de la BEOS mais il y a une question que je n'arrive pas à résoudre : on considère des variables aléatoires (Xn)n* identiquement distribuées selon une loi géométrique de paramètre p]0;1[ et définies sur un même espace probabilisé. on prend ]0;1[ et on pose =1- ; q=1-p
Il faut que je montre que k*, P(\bigcup_{n=k}^{+\propto }{\{X_n>n^\beta \}}\leq \sum_{n=k}^{+\propto }{q^{n^\beta }^{-1}}
J'ai essayé d'établir cette inégalité en exprimant les probabilités, en utilisant la sous additivité mais je n'y arrive jamais. Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Posté par
lionel52
re : probabilités 18-05-20 à 15:58

Hello ! La proba de l'union est inférieure à la proba de la somme

Ensuite
P(\{X_n > n^{\beta}\} ) = 1 - P(X_n \leq n^{\beta}) = 1 - \sum_{i = 0}^{\left\lfloor n^{\beta} \right\rfloor}} q^{i-1}p = ...

Posté par
bergamot
re : probabilités 18-05-20 à 16:16

Bonjour ! merci pour votre réponse !
Je trouve que c'est égal à q^{n^\beta } encore une fois.. il me manque le -1

Posté par
lionel52
re : probabilités 18-05-20 à 16:21

Quand q est entre 0 et 1, q^n > q^(n+1)

Posté par
bergamot
re : probabilités 18-05-20 à 16:28

Ah mais oui je n'y avais pas pensé !!! merci beaucoup!



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