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Probabilités
Bonsoir,
Voici un petit exercice que j'ai fait, à part les questions 7 b et c, et les questions 8 b et c.
J'aurais donc besoin d'un petit regard extérieur pour me corriger et m'aider aux dernières questions 
. Merci d'avance de m'avoir consacré votre temps.
L'énoncé en question :
Après un test pour détecter une éventuelle allergie, son médecin convoque Tom pour lui annoncer que le test est positif. Pas de chance car ce type d'allergie ne touche que 0.1% de la population. Tom demande donc à son médecin si ce test est fiable. Il lui répond que, si vous êtes allergique, alors le test est positif dans 90% des cas, et que, si vous ne l'êtes pas, alors le test est négatif dans 97% des cas.
Quelle est la probabilité que Tom soit vraiment allergique ?
On note C l'évènement "être allergique" et T l'évènement "le test est positif".
1. Construire un arbre pondéré de la situation.
2.Calculer la probabilité P(T).
3. En déduire la probabilité cherchée.
4.Conclure.
5.Pour voir autrement ce paradoxe, considérons une population de 10 000 personnes
5. Pour voir autrement ce paradoxe, considérons une population de 10 000 personnes. Recopier et remplir le tableau suivant en arrondissant les valeurs à l'unité. (cf.tableau joint en image)
6.Vérifier qu'on retrouve la probabilité cherchée.
7. La sensibilité d'un test est la probabilité que le test soit positif si la personne est allergique.
a) Déterminer une formule permettant de calculer la sensibilité à l'aide du tableau.
b) Que se passe-t-il si la sensibilité d'un test augmente ?
c) Le calculer dans cet exemple.
8. La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif si la personne n'est pas allergique.
a) Déterminer une formule permettant de calculer la spécificité à l'aide du tableau.
b) Que dire si la spécificité d'un test augmente ?
c) Le calculer dans cet exemple.
9. La sensibilité et la spécificité d'un test sont-elles dépendantes ? Comment réagissent-elles entre elles ?
10. On appelle prévalence, notée p, la probabilité p(M) et on note SE la sensibilité et SP la spécificité.
La valeur prédictive positive (VPP) d'un test est la probabilité que la personne soit réellement allergique si son test est positif et la valeur prédictive négative (VPN) d'un test est la probabilité que la personne ne soit pas allergique si son test est négatif.
a) Donner les valeurs de VPP et VPN en fonction de p, SE et SP.
b) Les calculer dans cet exemple.
1. Photo jointe.
2. p(T)= p(C)*p(T)+p(C barre)*p(T) = 0.1*0.90+0.9*0.03 = 0.117
3. Cette question répond, avec la précédente, aux questions de l'énoncé.
pTC = pC
T/ p(T) = 0.09/0.117 
0.77
4. La probabilité que Tom soit vraiment allergique est de 77%.
5. Tableau excel joint. Cependant, doit-on multiplier par 10 000 comme il est demandé d'arrondir à l'unité près ?
6. Je divise la valeur trouvée du vrai positif par le total des test positif, ce qui nous fait : 0.09/0.117 0.77.
7. a) PMT = P(MT)/p(M) = 0.09/0.1 = 0.9
b) Sachant que la sensibilité d'un test est la probabilité qu'un test soit positif si la personne allergique, si elle augmente alors nous pouvons en déduire que le test est plus fiable dans le cas d'une personne allergique toujours.
c) Veuillez m'indiquer si j'ai bel et bien répondu à cette question avec la question a, et si je dois multiplier le résultat final par 10 000 (ce qui serait égal à 9 000).
8. a) pMbarre(T barre) = p(M barreTbarre)/ p(M barre)= 0.97
b) Sachant que la spécificité d'un test est la probabilité qu'un test soit négatif si une personne n'est pas allergique, si la probabilité augmente, nous pouvons en déduire que le tes est plus fiable dans le cas d'une personne non allergique toujours.
c) Veuillez m'indiquer si j'ai bel et bien répondu à cette question avec la question a, et si je dois multiplier le résultat final par 10 000 (ce qui serait égal à 9700)
9. On multiplie les probabilité de la sensibilité et de la spécificité, ce qui nous donne : 0.873, ce qui correspond à la p(M barreT barre).
bonsoir claudinelyon
je ne sais pas si je pourrais t'aider sur tout l'exercice
(l'énoncé est long, je n'ai pas encore tout lu ^^)
mais il y a une erreur sur l'arbre et les calculs au début
0.1% , ça ne fait pas une proba de 0.1, mais de 0.001...
sinon, pour les questions 1 à 4, la démarche est la bonne, juste les calculs à revoir.
salut
dans ta réponse 2) il me semble que quelque chose cloche
2. p(T)= p(C)*p(T)+p(C barre)*p(T) = 0.1*0.90+0.9*0.03 = 0.117
5) pour le tableau, je ne comprends pas trop...
ce qui est donné par l'énoncé, c'est la partie gauche ? et tu dois remplir la partie droite ?
pour t'aider à demarrer
P(T+)=P(T+/A).P(A)+P(T+/nonA).P(nonA) ce calcul facilement avec les données de l'enoncé
5) pour le tableau, je ne comprends pas trop...
ce qui est donné par l'énoncé, c'est la partie gauche ? et tu dois remplir la partie droite ?
si tel est le cas, il me semble en effet que tu dois multiplier les probas par 10000
afin que le total soit bien de 10000, comme indiqué en partie gauche.
et puis.... pour quelle raison changer l'événement C en événement M (?)
5) pour le tableau, je ne comprends pas trop...
ce qui est donné par l'énoncé, c'est la partie gauche ? et tu dois remplir la partie droite ?
Ce qui est donné est la partie gauche, la partie droite est le tableau une fois complété avec les valeurs numériques
J'ai lu vos autres messages, je vais corrigé tout ça !
L'évènement C devient l'évènement M car c'est l'énoncé qui le demande, surement pour désigner le terme "Malade".
pour t'aider à demarrer
P(T+)=P(T+/A).P(A)+P(T+/nonA).P(nonA) ce calcul facilement avec les données de l'enoncé
Quel est cet évènement ?
j'avais pas bien lu , ton enoncé donne "C" , tu peux donc remplacer A par C d'ailleurs l'énoncé te donne P(C)= 0.001 (0,01% de la population)
Correction :
2. p(T) = 0.036
3. pT(C) = 0.25
5. Pour cette question, le total final ne correspond pas ... Pouvez-vous m'aider ?
6. 0.009/0.036=0.25
7. pM(T)= p(MT)/p(M)= 0.009/0.01=0.9
8. PMbarre(Tbarre)= p(M barreT barre)/ p(M barre)= 0.873/0.9=0.97
9. 0.9*0.97=0.873 (= p(MbarreTbarre)
j'avais pas bien lu , ton enoncé donne "C" , tu peux donc remplacer A par C d'ailleurs l'énoncé te donne P(C)= 0.001 (0,01% de la population)
Je ne pense pas que j'ai le droit de changer le nom de probabilité
...
Il vaut mieux garder, surtout dans les DMs comme dans les DS, les noms exacts, mais s'ils sont implicitement nommés dans l'énoncé.
flight Votre aide serait par contre le bienvenue pour la question 10 ... 
Dans mes calculs, je trouve toujours les mêmes réponses, quand bien même ils sont différents ...
10)
il s'agit "simplement" de traduire le texte en probabilité.
exemple :
On appelle prévalence, notée p, la probabilité p(M) ------ p = p(M) note p sur ton arbre
on note SE la sensibilité
La sensibilité d'un test est la probabilité que le test soit positif si la personne est allergique.
------- donc proba conditionnelle ; note SE sur ton arbre
idem pour SP
ensuite,
La valeur prédictive positive (VPP) d'un test est la probabilité que la personne soit réellement allergique si son test est positif
--- donc VPP = ...? quelle proba conditionnelle ?
note : tu ne peux pas placer VPP sur cet arbre
puis idem pour VPN
quand tu auras fait ceci, essaie d'exprimer VPP en fonction de p, SE et SP.
idem pour VPN
je vais couper pour aujourd'hui, je reprendrai tes calculs à tête reposée...
sauf si flight s'y colle
bonne soirée à vous deux !
j'avais pas bien lu , ton enoncé donne "C" , tu peux donc remplacer A par C d'ailleurs l'énoncé te donne P(C)= 0.001 (0,01% de la population)
L'énoncé donne 0.1% de la population, soit 0.01.
Voici ce que j'ai trouvé pour la question 10, peu importe les calculs, ils sont toujours égaux aux variables ...
* Modération > Image effacée. *
bonjourclaudinelyon
les scans de brouillon sont interdits : recopie au clavier
... mais ne recopie pas ce que tu me montres là, parce que tu n'y es pas du tout du tout ^^
par exemple, VPN et VPP sont des probabilités : p(VPP) ne veut rien dire.
en a) on ne te demande aucun calcul : relis la question
relis mon dernier message
écris VPP et VPN sous forme d'une proba conditionnelle
complète l'arbre et montre le moi si tu veux.
je repasse te lire plus tard dans la journée.
Bonjour,
J'ai refait l'arbre des probabilités, et j'ai également ajouté SE et SP.
Pour la question, où l'on doit calculer P (T), j'ai trouvé 0,0387.
Ensuite, la question 3 qui nous demande de déduire la probabilité recherchée, j'ai posé : P(C) sacgant T = P(CT)/P(T), ce qui nous fait 10/43, soit environ 0,23.
Question 4, conclure : La probabilité que Tom soit vraiment allergique est donc d'environ 23% ?
Pour la question 6, on nous demande de retrouver la probabilité recherchée , donc j 'ai divisé le vrai positif par le total des tests positifs : 0,009/0,0387 =10/43. (Mais je suis pas sûre si c'est bien ce que l'on nous demande de faire)
Question 7 : On doit déterminer une formule qui permet de calculer la spécificité à l'aide du tableau (spécificité : la proba que le test soit négatif si la personne n'est pas allergique).
Pour la trouver, il suffit de diviser le vrai positif par le total de malades, donc de calculer P(T) sachant M, ce qui fait 0,9.
Mais je ne comprend pas la question b : Que dire si la spécificité d'un test augmente ? Et du coup la c : La calculer dans cet exemple, c'est ce qu'on vient de faire non, avec 0,9 ?
Du coup 0, 9 correspond normalement à la proba de la spécificité d'un test (spécificité : proba que le test soit négatif si la personne n'est pas allergique). Pour la b : que dire si la spécificité d'un est augment? Que le est est alors de plus en pus fiable ?
Bon, alors la question 7 est en lien avec la sensibilité d'un test (proba que le test soit positif si le personne est allergique)
a) Sa formule par rapport au tableau est donc "vrai positif / le total des malades"
b) Que se passe -t-il si la sensibilité d'un test augment ?
c) calculer dans cet exemple : cela correspond à P(T) sachant M, donc 0,009/0,01=0,9
Du coup, veuillez encore m'excuser, pour la question 8, il s'agit bien de la spécificité d'un test (proba que le test soit si négatif si la personne n'est pas allergique)
a) formule : "vrai négatif /non malade"
b) Que dire si la spécificité d'un texte augmente? Que le test est davantage fiable?
c) Ça nous donne donc 0,9603/0,99=0,97
Enfin, pour la question 10, j'ai mis VPP et VPN sous forme de probas conditionnelles :
VPP : P(C) sachant T et VPN : P(C barre) sachant T barre.
Vous m'avez dit de les ensuite dans l'arbre, mais il faut alors que je le commence avec T et T barre (je dois inverser l'arbre?)
Pourriez -vous aussi me donnez plus d'indications pour la a) Donner les valeurs de VPP et VPN en fonction de p, SE, et SP
(pour les questions c de la 7 et 8, est-ce que je dois multiplier les résultats par 10 000 puisqu'il nous dise dans cet exemple?)
bonjour
arbre : relis 28-10-20 à 22:24
ça fait plusieurs fois que je te le rappelle...
et donc revois tous tes calculs.
P (T) = 0,03087.
SE n'est pas bien positionné.
et où tu places p ?
tableau excel : il doit y figurer des nombres de personnes (dans toutes les cases)
pas des probas (si je me fie à la partie gauche donnée par l'énoncé)
3) Quelle est la probabilité que Tom soit vraiment allergique ?
ce n'est pas pC(T) mais pT(C) :
la proba que Tom soit malade sachant que son test est positif
6) pT(M) c'est le calcul à faire mais avec les bons nombres 
7. La sensibilité d'un test est la probabilité que le test soit positif si la personne est allergique.
a) Sa formule par rapport au tableau est donc "vrai positif / le total des malades" ---- oui, c'est pM(T)
c) 0.9 oui, mais revois les nombres à diviser...
8, il s'agit bien de la spécificité d'un test (proba que le test soit si négatif si la personne n'est pas allergique) ---- pui c'est pM/(T/)
a) formule : "vrai négatif /non malade" --- oui
b) Que dire si la spécificité d'un texte augmente? Que le test est davantage fiable?--- c'est ce que je pense aussi, mais à réfléchir si on ne peut pas dire mieux (?)
c) Ça nous donne donc 0,9603/0,99=0,97 ---- oui
ne t'excuse pas pour le mélange... l'énoncé est plutôt touffu ^^
et il a eu la merveilleuse idée de changer C en M
de quoi s'emmêler les pinceaux ! 
10)
VPP = PT(M) --- oui
VPN : PT/(M/) ---- oui
Vous m'avez dit de les ensuite dans l'arbre, mais il faut alors que je le commence avec T et T barre (je dois inverser l'arbre?)
non, j'avais précisé que l'on ne peut pas placer VPP et VPN dans cet arbre
en effet, il faudrait commencer par les 2 branches T et T/
mais comme cela n'est pas demandé... ^^
en revanche, placer correctement p, SP et SE dans l'arbre actuel,
ça va t'être bien utile pour la suite pour répondre à la question : exprimer en fonction de p, SE et SP
pour VPP
tu as remarqué que c'est une proba conditionnelle
VPP = pT(M) =
en t'aidant de l'arbre, continue l'égalité.
à la fin seulement, tu remplaces par les valeurs et tu calcules
ps : je garde mes petits enfants... je repasse plus tard, dès que je pourrai
++
Tout d'abord, merci de m'aider à faire cet exercice.
Alors, j'ai refait l'arbre avec 0,001, ce qui nous fait pour la question 3 P(C)sachant T =0,0009/0,03087=10/343, soit environ 0,0292.
Du coup , pour la 6), on pose P(MT)/P(T) =9/308,7=10/343 (on retrouve bien la même valeur que la question 3). (cf image)
Pour la 7), après rectification de ma part, on a P(T) sachant M : 9/10=0,9
Idem, pour la 8), on a P (T/)sachant M/ : 9690,3/9990=0,97.
Pour la question 9), on nous demande si la sensibilité et la spécificité d'un test sont dépendantes? J'ai alors fait 0,97*0,9 = 8730 (une fois multiplié par 10 000), ce qui ne correspond pas à l"évènement de P (M/T/). Donc, elles sont dépendantes (mais je ne suis pas sûre de ma démarche); on nous demande ensuite, d'expliquer commment elles réagissent entre elles? Ce à quoi j'ai du mal à y répondre.
Enfin, pour la 10), j'ai complété l'égalité, on a : VPP=P(MT)/P(T)=p*SE/SE =0,1*10 000=10;
et VPN=P( M/T/)/P(T/)=M/*SP/SP =0,99*10 000=9 900.
Voilà, merci de bien vouloir prendre le temps avec moi sur ce devoir
je commence par la 10
10)
VPP=P(MT)/P(T) ----- oui
=p*SE/SE ---- en bleu oui, en rouge non
==> regarde la formule des probas totales que tu as utilisée en 2)
VPN=P( M/T/)/P(T/) ----- oui
=M/*SP/SP ---- mm code couleur
tu as oublié quelque chose : les événements complémentaires
si p(M) = p
alors p(M/) = 1- p
et ceci chaque fois que nécessaire, d'accord ?
9) , on nous demande si la sensibilité et la spécificité d'un test sont dépendantes?
J'ai alors fait 0,97*0,9 = 8730 (une fois multiplié par 10 000), ce qui ne correspond pas à l"évènement de P (M/T/).
non, si tu regardes mieux les formules de VPP et VPN, leur produit ne correspond pas à P (M/T/).
ce sont deux probas conditionnelles, les multiplier n'a pas de sens.
elles sont dépendantes ---- oui, par les formules
elles utilisent des événements ou leur complémentaire
si une proba change, sa complémentaire aussi
Ce à quoi j'ai du mal à y répondre. un peu, moi aussi :/ je continue à y réfléchir
Aussi, je ne comprends pas vos explications pour les questions 9 et 10. Pourriez s'il vous plaît me le réexpliquer d'une autre façon?
je comprends mieux pourquoi tu n'arrives pas à répondre à la 10)
énoncé : "10. On appelle prévalence, notée p, la probabilité p(M)"
or M, c'est C, donc p = p(C) sur l'arbre
et ainsi, tu peux exprimer les probas de toutes les branches de l'arbre en fonction de p, SE, et SP
Bonjour pouvez vous me passer votre mail ou bien un moyen pour vous contactez j'ai extrêmement besoin des réponses de ces exercices, je viens de crée ce compte donc je m'y connais pas vraiment! Pouvez vous m'aidez 🥲
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