Bonsoir
Je ne trouve pas comme toi
En 1) comme en 2) il y a 10 tirages possibles en tout (simultanés de 2 jetons parmi 5)
1) je trouve : a) 1/10      b) 3/5       c) 3/10
2)       a) 2/5     b) 3/5

à vérifiet
Et j'arrête pour ce soir.

Mais il n'y en a que 5 jetons dans les 2 cas, il en tire deux simultanément donc c'est 2 sur les 5

bonjour à tous les deux

co11, je confirme tes résultats.

Rasengan je te conseille de faire au brouillon des arbres pondérés.
tirer 2 jetons du sac en même temps équivaut à les tirer successivement et sans remise.

je m'éclipse.

Ah oui effectivement merci ! Je devrais toujours faire un arbre...

Maintenant pour la question 3 s'il vous plaît ? J'ai dit plus haut ce que je n'ai pas compris

S'il vous plaît ?

bonsoir Rasengan
en attendant le retour de co11 qui reprend la main dès le souhaitera.

pour la 3a) tu vas te servir des questions 1 et 2

si besoin au brouillon fais un arbre (qui ressemblera à celui donné par l'énoncé)
et qui représentera le tirage dans le sac 0 suivi du tirage dans le sac 1

3a) pour t'aider à calculer p₁, r₁ et s₁


sur les branches primaires, tu retrouves les probas calculées en 1.
sur les branches secondaires, tu utilises les résultats de 1) et 2), selon le contenu du sac 0 à la fin du tirage.

que trouves-tu ?

J'ai un peu du mal à comprendre les résultats de co11
Par exemple 1)b)3/5 c'est plutôt 2/10 ? Car il y a 2 branches avec un seul jeton vert ?


Pour p1, il faut additionner les probabilités ?

Probabilité : Aucun jeton vert du sac n :
Si on a tiré 2 rouge : 1
Si on a tiré 1 rouge et 1 vert : 3/5
Si on a tiré 2 verts : 3/10

1b) montre l'arbre que tu as fait, ça servira de base pour t'expliquer (et vérifier s'il est bon)

Pour p1, il faut additionner les probabilités ? oui probas totales à partir de l'arbre que je t'ai donné, et dont tu dois compléter les poids des branches secondaires.

pour les probas que tu donnes, précise la question, sinon je ne peux pas t'aider.

**  je rectifie une erreur de ma part (18h28) :
sur les branches secondaires, tu utilises les résultats de 1) et 2),
selon le contenu du sac 1 à la fin du tirage dans le sac 0 .

Ah c'est correcte mais je me suis aidé des questions 1) et 2) mais je n'ai pas vraiment compris comment ils ont été trouvé, comme je l'ai dit par exemple la 1)b)

1b)
composition du sac : 2V - 3R

p(1V) = .... probas totales à l'aide de l'arbre ci-dessous

Ah merci je comprend mieux

Donc p1=3/5+1+3/10 ? Je pense que j'ai faux pour 0verts et qu'on tire 0 vert (la toute première branche de votre arbre au tirage 1)

p1=3/5+1+3/10 ---> une proba >1, c'est très suspect

montre moi comment tu as complété les probas des branches secondaires sur "mon" arbre de 18h28

et revois (je pense, d'après le calcul que tu me montres) comment on calcule les probas totales.
si besoin : au II) Probabilités conditionnelles et indépendance

J'ai trouvé dans l'ordre

1
0
0

0,6
0,4
0

0,3
0,6
0,1

Ah oui il faut faire :
p1= 0,3*1 +0,6*0,6+0,1*0,3=0,69
r1=0,3*0+0,6*0,4+0,1*0,6=0,3
s1=0,3*0+0,6*0+0,1*0,1=0,01
D'ailleurs on trouve, si on additionne les 3, 1 c'est normal ?

ok, c'est juste.

somme=1 : oui normal puisque les 3 événements An, Un et Dn forment une partition de l'univers
(cf l'arbre donné par l'énoncé)

tu peux me confirmer l'énoncé de la question de la question 3e) que tu as écrit
regarde bien parce que là ça cadre pas pour r1

Je viens de me rappeler qu'il y a une erreur d'énoncé dans cet exercice et le professeur nous en a donné une autre voici ce qui change :

n est un entier naturel non nul. Lorsque les deux jetons provenant du sachet n − 1 ont été déposés dans le sachet n, on note :
— An l'événement : « avoir aucun jeton vert dans le sachet n » et pn sa probabilité ;
— Un l'événement : « avoir un seul jeton vert dans le sachet n » et rn sa probabilité ;
— Dn l'événement : « avoir deux jetons verts dans le sachet n » et sn sa probabilité ;

Est-ce que ça change tout ?

Bonsoir,
carita, tu as bien suivi cet exercice et vous avez vraiment bien avancé. Je te laisse poursuivre.
Pour autant j'y jetterai un oeil tout de même.

bonsoir co11
oui, gardes-y un oeil, et p'tèt même les deux. Bonne soirée !

Rasengan ah! ah! c'est bien heureux que tu y aies pensé...

les questions 1 et 2 ne changent pas.
en revanche, pour la 3), oui, faut refaire !

dans le 1er énoncé, on effectuait 2 tirages successifs sans remise dans le sac 0  (2 jetons) pour obtenir A1, U1, D1 - cf 18h28
alors que dans l'énoncé 2, on s'intéresse à la composition du sac 1.

donc l'arbre de 18h28, on oublie et poubelle.
ton message de 19h36 : les poids des branches secondaires sont à garder pour compléter l'arbre de l'énoncé en 3b)

3a) les probas attendues sont identiques à celles de la question 1)
comprends-tu pourquoi ?

3c) sans difficulté
probas totales à partir de l'arbre du 3b)

3d) quelle est la nature de la suite (s_n) ?
donne son écriture explicite (en fonction de n)

3e) r_n=2(0,4ⁿ - 0,1ⁿ)
structure proprement ta démo; elle est sans difficulté majeure.

p1=1/10, r1=3/5 et s1=3/10 ?
Non je n'ai pas compris pourquoi ce sont les mêmes puisque dans le sac 1 on aura pas forcément 2 jetons verts et 3 rouges comme à la question 1 ?

ok pour les probas

en effet quand on fait le tirage dans le sac 0 (dont  la composition est 2V3R)
c'est exactement la même expérience que celle réalisée en 1)

au terme de cette expérience,
la proba d'avoir 0V dans le sac 1 est de 0.1, soit p1=0.1
la proba d'avoir 1V dans le sac 1 est de 0.6, soit r1=0.6
la proba d'avoir 2V dans le sac 1 est de 0.3, soit s1=0.3

d'accord ?

Ah d'accord merci !

Pour la 3)b)

Je remet ce que j'ai mis à 19h36 pour les branches secondaires (dans le meme ordre) et pour les branches primaires, je mets 0,3 puis 0,6 puis 0,1 ?

ok pour les secondaires

mais pas pour les primaires : sur cet arbre, on raisonne à un rang n quelconque.
on connait les probas conditionnelles (donc les poids des branches secondaires)
mais pas les poids des branches qui précèdent.

donc sur les 3 branches primaires, on va noter p_n, r_n et s_n

Ah d'accord merci
Donc pour la suivante je dis d'après les probabilités totales et je fais les calculs...

Ensuite pour la d) on connaît Sn+1 mais pas Sn ?

que dit 3c) au sujet de s_n+1 ?

pour le cas où tu ne l'aurais pas vu : cf 21h31

C'est une suite arithmétique de raison 0,1 ?

Géométrique*

oui

donc s_n = ....

Sn=0,1n ?

euh tu veux dire 0.1*n ?
dans ce cas c'est faux Tout ce qui concerne les suites géométriques

Sn=Sp * q^n-p
Sn=Sp * 0,1^n-p mais on ne connaît pas le premier terme ou p

ah bon ? cf 3a)

Ah oui désolé !

Sn=0,3 * 0,1^n-0,3

n-1 plutôt

oups, on a inversé p1 et s1  (pas vu, désolée)
je corrige

quand tu souhaites arrêter tu me le dis?
tu sais que je reviens demain.

D'accord merci ! Je peux continuer jusqu'à pas d'heure, dès que vous arrêtez, j'arrête

0,1ⁿ ?

0.1ⁿ

démo par récurrence, soigne ta rédaction.

je tarderai pas trop longtemps... mais je te dirai quand les yeux se fermeront tout seuls

D'accord merci pas de soucis...

Ensuite

Pour tout entier naturel n non nul, (Pn) est la propriété : « rn=2(0,4ⁿ-0,1ⁿ) »

Initialisation : P(1)(tout n non nul donc pas 0 mais 1 ?) est-elle vraie ? r1=0,6 et 2(0,4¹-0,1¹)=0,6

Donc r1= 2(0,4¹-0,1¹)

Donc P(1) est vraie

Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel k, la propriété P(k) est vraie c'est à dire que r_k=2(0,4^k-0,1^k) (hypothèse de récurrence). P(k+1) est-elle vraie ?

Démontrons que P(k+1) est vraie c'est à dire que r_k+1=2(0,4^k+1-0,1^k+1)

Or r_k+1=0,4r_k+0,6s_k et S_k=0,1^k

Donc r_k+1=0,4r_k+0,6* 0,1^k

Et la je ne sais plus

bon début

dans ta dernière ligne, remplace r_k par l'hypothèse de récurrence

r_k+1=0,4(2(0,4^k-0,1^k))+0,6^k*0,1^k

Mais je ne vois pas comment développer, le 0,4*2 ? ou je peux directement mettre 0,4*0,4^k ?

... je peux directement mettre 0,4*0,4^k ?  -- bien sur !

en revanche le 0.6 n'est pas à la puissance k

et distribue/réduis pour regrouper les termes en puissance de 0.1

Le 2 ne gêne pas ? Comme 2 est facteur ?

Donc 2(0,4^k+1-0,1^k+0,6*0,1^k

Mais ensuite ?

pourquoi le 0,4 est seulement multiplié avec 0,4_ket pas 0,1^k alors qu'il est aussi dans la parenthèse ?

oui, bien sur,  tous les termes dans les ( )  sont multipliés par 0.4

par 0.4 et par 2, soit  - 0.8*(0,1)^k

(garde toujours un oeil sur ton cap : ce que tu doit trouver à la fin)