Bonjour, tu peux commencer par chercher les résultats possibles et leurs probabilités.

Exemple P(2) = P(12) =1/6*1/6 = 1/36

Ou tu demandes à wikipédia

p(2) = 1/36
p(3) = 2/36 ou 1/18
p(4) = 3/36 ou 1/12
p(5) = 4/36 ou 1/9
p(6) = 5/36
p(7) = 6/36 ou 1/6
p(8) = 5/36
p(9) = 4/36 ou 1/9
p(10)= 3/36 ou 1/12
p(11)= 2/36 ou 1/18
p(12)= 1/36

En fait on joue tant qu'un des joueurs n'a pas gagné... ça peut durer longtemps. Il y a sans doute une limite à calculer.

Proba pour qu"A gagne à son 1er lancer = A = 10/36

Proba pour que A gagne à son 2e lancer = nonA*nonB*A

Proba pour que A gagne à son 3e lancer = nonA*nonB*nonA*nonB*A

à son 4e = nonA*nonB*nonA*nonB*nonA*nonB*A

au lancer n on a la proba du lancer n-1 multiplié par nonA*NonB

donc au lancer n on a une proba de nonA^(n-1)*nonB^(n-1)*A

Puis on additionne la proba pour A de gagner è son 1er lancer + son 2e + son 3e....
c'est à dire pour n lancers de Alice

P(A gagne) = A(1 + nonA*nonB + nonA²*nonB² +........ nonA^(n-1)*nonB^(n-1))

Voilà, avec excel on tend vers une limite de 0.48
Donc Alice a moins de chances que son copain de gagner.

Sauf erreur.

Je reprends cet excellent exo, qui ressemble à une énigme.

J'ai écrit hier soir que la proba pour qu'Alice gagne tend vers 0.48 mais c'est une approximation. Pour un nombre de lancer d'Alice de 63, je trouve une proba de gagner le jeu de 0.477243 donc on n'arrive pas à 0.48

Si j'appelle x nonA*nonB

P(Alice gagne après n lancers) = A(x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + x^n-1)

Il reste donc à voir la limite de x quand n tend vers l'infini.

Et pour la question 2, trouver des conditions de jeu pour que A*cette limite = 0.5

Attention, A fait varier x, puisque x=nonA*nonB et que nonA = 1-A

Il n'y a personne pour approfondir ça (ou pour corriger )

Je viens de voir que j'ai fait une erreur de calcul. En fait la proba qu'Alice gagne à ce jeu est voisine de 0.4
Sur le principe, ça ne change rien, elle est désavantagée. Reste à trouver des règles de jeu équitables. Cet exo aurait fait une bonne énigme

Je poursuis...

P(Alice gagne après n lancers) = A(x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + x^n-1)

cette expression peut se simplifier quand on sait que si 0<x<1

1 + x¹ + x² + x³ + ...... + x^n-1 = 1/(1-x)

Merci Gérard Villemin

Donc P(Alice gagne finalement) = A*1/(1-nonA*nonB) = A/(1-(1-A)(1-B)) = A/(A*B-A-B)

Une réponse assez simple, finalement

Question 2

b)Dans le cas général, caractériser les règles du jeu qui conduisent à un jeu équitable.
Compter le nombre de règles du jeu équitable dont vous joindrez le code source.

Pour que le jeu soit équitable, il faut que Alice ait, au bout du compte (avec un nombre infini de lancers) une probabilité de gagner de 1/2

(j'ai trouvé une petite erreur de signe dans ma formule, c'est en fait : A/(A + B -A*B))

P(A gagne à la fin) = A/(A + B -A*B) = 1/2

on trouve 2A = A + B - A*B

donc A/(1-A) = B

On a obtenu une équation diophantienne avec A et B qui vont de 0/36 à 36/36

Pour simplifier le calcul, je pose A*36 = a et B*36 = b et donc a et b sont des entiers compris entre 0 et 36
a et b correspondent en fait à la somme des points qui permettent à Alice ou Barnabé de gagner la partie quand ils lancent les deux dés.


On obtient en remplaçant dans A/(1-A) = B

a - b + a*b/36 = 0

J'ai cherché toutes les solutions pour a et b entiers de 0 à 36 (il faut que a*b = 36k ce qui simplifie le calcul)

Solutions :


Premier couple de solutions

a = 18 et b = 36
(là Barnabé gagne quelque soit son score, mais comme il joue en 2e, la partie est tout de même équitable ; Alice gagne pour la moitié des possibilités : c'est la règle qu'on aurait pu trouver sans faire tous ces calculs )

On demande toutes les possibilités. J'en donne une, que j'ai testée et qui donne 50/50 pour Alice et Barnabé :
Alice gagne si elle marque 2, 3, 4, 5, 6 ou 10 points
Barnabé gagne toujours


Deuxième couple de solutions

a = 9 et b = 12
Un exemple parmis beaucoup :
Alice fait 2,3,4 ou 10
Barnabé fait 2,3,4,5 ou 11


Troizième couple de solutions

a = 12 et b = 18
Un exemple :
Alice fait 2,3,4,5 ou 11
Barnabé fait 2,3,4,5,6 ou 10

Il reste à dénombrer pour chacun des 3 couples a et b les différentes possibilités d'avoir ce score.

Je vois que cet exo n'a pas beaucoup de succès... j'espère que son auteur viendra jeter un coup d'oeil.

J'ai fait un abus de langage à la dernière ligne, il faut dénombrer les possibilités d'avoir pour a et b ce résultat et pas ce score.

Exemple on veut a = 18 (1er couple de solutions) qui correspond à A=18/36

On a les probas :

p(2) = 1/36
p(3) = 2/36 ou 1/18
p(4) = 3/36 ou 1/12
p(5) = 4/36 ou 1/9
p(6) = 5/36
p(7) = 6/36 ou 1/6
p(8) = 5/36
p(9) = 4/36 ou 1/9
p(10)= 3/36 ou 1/12
p(11)= 2/36 ou 1/18
p(12)= 1/36

On va donc trouver toutes les sommes de p qui donnent 18 et voir à quelles règles cela correspond.

Ce n'est pas le plus dur, c'est du dénombrement.

Une question, simonosaxo, c'est dans quel genre d'études qu'on donne cet exo ? Je trouve ça dur

Bon, je viens de voir la réponse à ma question. Normal que ce soit dur... la semaine de la rentrée, ils sont vaches tout de même. Ou alors c'est le bizutage

En espérant que simonosaxo reviennent sur le site

Oui, si j'avais vu l'ampleur de la tâche, je ne me serais pas lancée... mais ça fera une JFF 3 étoiles un jour.

Simonosaxo, reviens nous dire si c'était juste, j'aimerais bien savoir comment on est supposé résoudre ça.

<sub>[/sub]bonjour,
>>bornéo à mon avis c'est un exo de prépa HEC
voici mes idées pour cet exo:
je note a la probabilité qu'alice obtienne un élément de A en lançant ses deux dés
        b la probabilité que barnabé obtienne un élément de B en lançant ses deux dés
a chaque étape la partie continue si alice et barnabé n'ont pas sorti un élémet de A pour alice,un élément de B pour barnabé donc la partie continue avec la probabilité p=(1-a)(1-b)

alice peut gagner au premier lancer,au deuxième.....au nième
soit A[sub]n</sub>l'événement alice gagne au nième lancer et E_kla partie n'est pas terminée aprés k lancers
A_n=_1kn-1 E_k(alice sort un élément de A
donc p(A_n)=p^n-1a
alice gagne la partie c'est A₁ouA₂ou.....
p(alice gagne la partie)=_{n=1 à+}p(A_n)
je reviendrai tout à l'heure

Bonjour veleda, je le proposerai à ma fille, qui vient de faire 2 ans de prépa HEC. Mais peu importe la section, ce sont des élèves qui viennent d'arriver, et qui sortent de terminale

PS Mon résultat est sûrement bon, puisqu'il se vérifie dans tous mes exemples. Ce qui m'intéresse, c'est la démarche demandée.

^{[/sup]bonjour bornéo
ce texte s'adresse sans doute à des éléves de seconde année.
j'aime bien les probabilités et si j'avais été chez moi je serais intervenue plus tôt mais depuis jeudi j'étais loin de mon ordinateur.
je reprends mes calculs
p(alice gagne la partie)=limite_n->+a(1-p[sup]n})/(1-p)=a/(1-p) car lim_n->+pⁿ=0
a=10/36,b=21/36=>p=(1-10/36)(1-21/36)sauf erreur je n'ai pas excel et ma calculatrice est en panne donc je ne sais pas si on a le même résultat numérique mais ta formule est la même que la mienne
je n'ai pas le temps de regarder la suite maintenant.

bonsoir,
p(barnabé gagne)=(1-a)b/(1-p)  on vérifie que p(alice gagne)+p(barnabé gagne)=1 donc la probabilité que la partie ne s'arrête pas est nulle. le jeu est équitable si la probabilité de chacun de gagner est la même  a/(1-p)=(1-a)b(1-p)<=>a=(1-a)b j'ai bien la même condition que bornéo(cette probabilité étant 1/2 )

Proba qu'Alice gagne: 60/151
Pour que le jeu soit équitable, si on appelle a et b les probas respectives que en un coup Alice et Barnabé gagnent, il faut que pour que le jeu soit équitable: a=b-a*b.
Par exemple a=1/3 et b=1/2. On peut prendre A={2,3,5,6} et B={2,3,5,6,7}. Par tâtonnements on trouve les autres possibilités.