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Niveau autre
[Probabilités] Calcul de loi
Posté par Alev50 (invité)
Bonjour,
Je cherche à calculer la densité de probabilité d'un variable aléatoire U = sup {X1, X2, ..., Xn} où X1, X2, ... , Xn suivent des lois uniformes sur [a,b].
Je pense qu'il faut utiliser l'espérance pour trouver mais je ne vois pas trop comment passser d'une intégrable n-ième à une intégrale simple...
Merci d'avance
Bonjour Alev50
Je suppose que ces variables sont indépendantes. Sinon, on ne peut rien faire.
Sinon, que trouves-tu ?
Kaiser
Posté par Alev50 (invité)re : [Probabilités] Calcul de loi
Effectivement, les variables sont indépendantes.
Je choisis une fonction h positive à support compacte.
E[h(U)] = int(u * fU(u), u = -infinity...+infinity)
E[h(sup(X1,X2,...,XN))} = int(int(...int(sup(x1,x2,...,xn) * fX1(x1) * fX2(x2) * ... * fXn(xn) * dx1 * dx2 * ... * dxn)...)) pour -infinity<x1,x2,...,xn<+infinity
E[h(sup(X1,X2,...,XN))} = int(int(...int(sup(x1,x2,...,xn) * 1/(b-a)^n * dx1 * dx2 * ... * dxn)...)) pour a<x1,x2,...,xn<b
Et je ne sais pas comment continuer.
Posté par Alev50 (invité)re : [Probabilités] Calcul de loi
ops j'ai fait une petite erreur :
E[h(sup(X1,X2,...,XN))] = int(int(...int(h(sup(x1,x2,...,xn)) * fX1(x1) * fX2(x2) * ... * fXn(xn) * dx1 * dx2 * ... * dxn)...)) pour -infinity<x1,x2,...,xn<+infinity
E[h(sup(X1,X2,...,XN))] = int(int(...int(h(sup(x1,x2,...,xn)) * 1/(b-a)^n * dx1 * dx2 * ... * dxn)...)) pour a<x1,x2,...,xn<b
OK !
En fait, cette méthode pourrait aboutir (sans trop d'effort) lorsque la variable aléatoire s'exprime simplement en fonction des , ce qui n'est pas le cas ici.
Je te conseille plutôt de passer par la fonction de répartition. Tu verras : c'est beaucoup plus simple !
Kaiser
Posté par Alev50 (invité)re : [Probabilités] Calcul de loi
Je crois que je m'en suis sorti :
FU(u) = P(U <= u)
= P(sup(X1,X2,...,Xn) <= u)
= P(X1 <= u, X2 <= u, ..., Xn <= u)
= P(X1 <= u) * P(X2 <= u) * ... * P(Xn <= u) car les variables sont indépendantes
= (P(X1 <= u))^n
= (FX1(u))^n
FX1(u) = int(1/(b-a) * 1[a,b](t), t=-infinty...u)
= 0 si u < a
= (u-a)/(b-a) si a <= u <= b
= 1 si u > b
Donc : fU(u) = F'(u)
= n * (FX1(u))^(n-1) * F'(X1 <= u)
= n * (FX1(u))^(n-1) * fX1(u)
= n / (b-a) * ((u-a)/(b-a))^(n-1) * 1[a,b](u)
Merci beaucoup 