Bonsoir à vous,

J'ai un peu honte de vous faire cette demande, mais il semblerait que je sèche face à un exercice de probabilité qui a l'air assez classique. En voici l'énoncé :

On considère un carré ABCD et son centre O. On note Γ = {A, B, C, D, O}.
Une puce se déplace aléatoirement en sautant d'un point de Γ à un autre. La seule contrainte est que, si un
saut relie deux sommets du carré, ceux-ci doivent être adjacents. À chaque saut, tous les déplacements sont
équiprobables. La puce ne reste pas deux fois de suite au même endroit.
Au départ, c'est-à-dire avant son premier saut, la puce se trouve au point O.
Pour tout entier naturel n, on note O_n l'évènement « la puce se trouve au point O à l'issue de son n ième saut ». On note p_n = P(O_n); on a donc p₀ = 1.
On définit de même les évènements An, Bn, Cn, Dn.
1) Calculer p1 et p2.
2) Pour tout entier naturel n, démontrer les égalités : P(A_n) = P(B_n) = P(C_n) = P(D_n) = 1/4(1 − p_n)
3)  Montrer que p_n+1=1/3(1-p_n) pour tout entier naturel n
4) On pose q_n=p_n-1/4. Montrer que la suite (q_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
5) En déduire q_n puis p_n en fonction de n.

A la question 1 intuitivement je réponds - dans l'ordre- 0 et 3. Pour la deuxième, les choses se corsent, j'aurais là encore intuitivement tendance à répondre que les événements A, B, C et D ont une même probabilité de 3/16, mais je n'arrive à rien démontrer.

Bref, merci de m'aider.