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Probabilités conditionnelles - Indépendance

Posté par
SwagVeranda
28-01-19 à 19:47

Bonsoir à vous,

J'ai un peu honte de vous faire cette demande, mais il semblerait que je sèche face à un exercice de probabilité qui a l'air assez classique. En voici l'énoncé :

On considère un carré ABCD et son centre O. On note Γ = {A, B, C, D, O}.
Une puce se déplace aléatoirement en sautant d'un point de Γ à un autre. La seule contrainte est que, si un
saut relie deux sommets du carré, ceux-ci doivent être adjacents. À chaque saut, tous les déplacements sont
équiprobables. La puce ne reste pas deux fois de suite au même endroit.
Au départ, c'est-à-dire avant son premier saut, la puce se trouve au point O.
Pour tout entier naturel n, on note On l'évènement « la puce se trouve au point O à l'issue de son n ième saut ». On note pn = P(On); on a donc p0 = 1.
On définit de même les évènements An, Bn, Cn, Dn.
1) Calculer p1 et p2.
2) Pour tout entier naturel n, démontrer les égalités : P(An) = P(Bn) = P(Cn) = P(Dn) = 1/4(1 − pn)
3)  Montrer que pn+1=1/3(1-pn) pour tout entier naturel n
4) On pose qn=pn-1/4. Montrer que la suite (qn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
5) En déduire qn puis pn en fonction de n.


A la question 1 intuitivement je réponds - dans l'ordre- 0 et 3. Pour la deuxième, les choses se corsent, j'aurais là encore intuitivement tendance à répondre que les événements A, B, C et D ont une même probabilité de 3/16, mais je n'arrive à rien démontrer.

Bref, merci de m'aider.

Posté par
Yzz
re : Probabilités conditionnelles - Indépendance 28-01-19 à 19:50

Salut,

Tu trouve donc, intuitivement, une proba égale à 3.
Ca pose problème...

Posté par
SwagVeranda
re : Probabilités conditionnelles - Indépendance 28-01-19 à 19:54

1/3* excusez moi

Posté par
SwagVeranda
re : Probabilités conditionnelles - Indépendance 28-01-19 à 22:20

Bon finalement, seule la question 2 me pose vraiment problème, voici comment j'ai fait pour le reste :
1) Comme je l'ai dit, je trouve 0 et 1/3.
3) J'utilise la formule des probabilités totales, j'obtiens Pn+1=P(An)*PAn(On+1)+P(Bn)*PBn(On+1)+P(Cn)*PCn(On+1)+P(Dn)*PDn(On+1)=1/3 P(An)+1/3 P(Bn)+1/3 P(Cn)+1/3 P(Dn)=1/3*4*1/4(1-Pn)=1/3(1-Pn)

4) et 5) sont (sauf erreur de ma part) des questions classiques que j'ai fait comme d'habitude.

Posté par
Olly
re : Probabilités conditionnelles - Indépendance 28-01-19 à 22:31

Bonsoir,

J'aurais tendance à dire que comme tous les déplacements sont équiprobables, l'ordre dans lequel les sommets sont "rangés" n'importe pas et on a intuitivement que P(A_n) = P(B_n) = P(C_n) = P(D_n).

Le résultats découle directement que la somme de toutes les probas du n-ième saut vaut 1.

Posté par
Olly
re : Probabilités conditionnelles - Indépendance 28-01-19 à 22:34

Pour 1), je suis d'accord.
Pour 3), bonne formule, je n'ai pas vérifié les calculs mais sauf erreur d'inattention, c'est juste.
Pour 4) et 5), en effet c'est classique !

Posté par
SwagVeranda
re : Probabilités conditionnelles - Indépendance 28-01-19 à 23:50

D'accord merci beaucoup.



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