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probabilités/espérance/étude de fonction
J'ai beaucoup de mal avec cet exercice, j'ai l'impression
que ce que je trouve, ca peut pas etre ça ! Alors, voilà :
Une roue de loterie se compose de secteurs identiques : trois de ces
secteurs sont rouges, quatre sont blancs et n sont verts ( avec n
supérieur ou égal à 1 ) . Un joueur fait tourner la roue devant un
repère fixe , chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter
devant ce repère . Si le secteur repéré est rouge, le joueur gagne
16 euros ; s'il est blanc, il perd 12 euros ; s'il est
vert, il lance une deuxième fois la roue : si le secteur repéré est
rouge, il gagne 8 euros; s'il est blanc, il perd 2 euros ; s'il
est vert, il ne gagne rien et ne perd rien . On appelle G le gain
algébrique à l'issue d'une partie .
1.a) Déterminez les valeurs possibles pour G.
b) Déterminez la loi de probabilité correspondante.
c) Montrez que l'espérance E de cette loi est égale à
16 n / ( n+7)² .
2. f est la fonction définie sur (0; + l'infini ) par
f(x) = x / (x+7)²
a) Etudiez les variations de f.
b) Déduisez-en la valeur de n pour laquelle E est maximale . Quelle
est alors la valeur de E ?
Merci beaucoup de votre aide Claire
Bonsoir,
1) Le gain peut valoir +16;-12;+8;-2;0.
Il y a (n+7) secteurs.
P(G=+16) correspond à la probabilité d'arriver un rouge soit
3/(n+7).
P(G=-12)=4/(n+7)
P(G=8)=n/(n+7)*3/(n+7)=3n/(n+7)²
P(G=-2)=4n/(n+7)²
P(G=0)=n²/(n+7)²
2) Pour calculer l'espérance de G, on multiplie chaque probabilité
par le gain correspondant et on les additionne.
16*P(G=16)-12*P(G=-12)+..... et on obtient bien le résultat souhaité.
2) On étudie les variations de f en dérivant et en étudiant le signe
puis on observe que la fonction f admet un maximum. Ce maximum (si
il est entier) correspond au maximum de l'espérance car E=16f(n).
Si il n'est pas entier, on calcule la valeur de f pour les deux
valeurs entières encadrant le maximum.
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