Annuler
connectez vous
probabilités en post-bac
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Ensemble et application Partie I
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Probabilités et fonction indicatrice d'Euler
Posté par Louisian
Bonjour,
En travaillant les probabilités discrètes, j'ai trouvé un exercice particulier qui relie la fonction indicatrice d'Euler ( en arithmétique ) aux probabilités. Seulement je bloque sur deux questions et j'espère que vous pourrez m'aider.
L'énoncé de l'exercice :
Soit n
* . L'ensemble est muni de l'algèbre
et la probabilité uniforme
. Pour tout k
, on note Ak l'ensemble des entiers de
divisibles par k .
1) Montrer que si k divise n alors P(Ak)=1/k
2) Soient k1,.....,kr des diviseurs de n deux à deux premiers entre eux. Montrer que les évènements Ak[sub]1[/sub],.....,Ak[sub]r[/sub] sont mutuellement indépendants .
On note l'ensemble des nombres premiers divisant n.
3) Montrer que la probabilité qu'un élément de soit premier avec n vaut :
La fonction est la fonction indicatrice d'Euler.
4) Soit d un diviseur de n tel que n= k.d . On note Bd={ j.d , j ; j^k=1 } . Déterminer le cardinal de Bd .
5) En déduire que
J'ai répondu aux 3 premières question ( je peux poster la réponse mais je ne pense pas que cela soit nécessaire ) , et pour la 4 ème , je me suis dit qu'il y'a autant de j.d dans Bd qu'il y'a d'entiers premiers avec k dans {1,...,k} . Et donc en me basant sur la 3ème question , j'ai : donc :
Mais je doute que Card(Bd) dépende de k.
Et pour la dernière question je n'ai pas trouvé de réponse :/
J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre cet exercice et de l'achever.
Merci d'avance ^^
Bonjour,
Merci pour votre réponse ^^ . J'ai essayé de répondre à la dernière question mais en vain. On peut voir la somme de cette façon :
mais cela ne m'avance pas :/
J'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance
en fait je ne plus sur de rien ... mais il faudrait montrer que les B_d forment une partition de N = {1, 2, ..., n} ou du moins voir une partition de N en ensembles de cardinal f(d) où d est un diviseur de n ...