salut erreur cette espérance devrait etre nulle

Bonjour,

Vassilia parle d'aire, pas d'aire algébrique. L'espérance n'est donc certainement pas nulle.

Bonjour, effectivement GBZM  sinon c'est pas drôle mais peut-être que ce n'est pas clair.

Je choisis 3 points au hasard et où les coordonnées sont obtenues à partir de 6 variables aléatoires , , , , et indépendantes qui suivent une loi uniforme de support [0,1].

Il s'agit d'une loi continue, la probabilité que 2 ou 3 points soient confondus vaut 0. La question, pas si facile selon moi, est de trouver l'espérance mathématique de l'aire du triangle ABC qui va bien sûr être positive.

avec un esclave j'obtiens une proba d'avoir une aire positive qui serait de l'ordre de   0.0382   .. les calculs vont pas etre simples

Ce que tu annonces est visiblement aberrant. Qu'as-tu bien pu écrire comme procédure ???

voila fais sur vba   avec un peu de detail
à moins que la formule saisir soit fausse
Sub simu_esperance_aire_triangle()

c = 0
ess = 0
Do
ess = ess + 1
xa = Rnd
ya = Rnd
xb = Rnd
yb = Rnd
xc = Rnd
yc = Rnd
aire = ((1 / 2) * ((xb - xa) * (yc - ya) - (xc - xa) * (yb - ya)))
If aire > 0 Then
c = c + aire
End If

Loop Until ess = 1000000     '1 miilion d'essais
MsgBox c / 1000000
End Sub

j'y suis .... ma formule est fausse ..je corrige ca

Sub simu_esperance_aire_triangle()

c = 0
ess = 0
Do
ess = ess + 1
xa = Rnd
ya = Rnd
xb = Rnd
yb = Rnd
xc = Rnd
yc = Rnd
aire = ((1 / 2) * Abs(((xb - xa) * (yc - ya) - (xc - xa) * (yb - ya))))
c = c + aire
Loop Until ess = 1000000
MsgBox c    'me retourne  cette fois ci : 7,64.10^-2

Ce que tu calcules n'a rien à voir avec "une proba d'avoir une aire positive" !!!
C'est une moyenne des aires.

Essaie de t'exprimer de façon claire et correcte. On se comprendra mieux.

décidement endormi aujourd'hui merci ! :D  ...effectivement
je revois ca

Mais flight, il est très bien ton calcul, tu viens de donner une approximation tout à fait convenable de l'espérance demandée, c'est ce qu'on voulait. Bravo !
Personne n'a jamais demandé autre chose enfin si la valeur théorique peut-être...

mon premier calcul est celui de l'espérance de l'aire du triangle ABC est non une proba
donc E vaut environ 7,64.10^-2   et la proba d'avoir une aire positive vaut  d'apres l'algorithme suivant  p = 0,5

Sub simu_proba_aire_triangle()

n = 0
ess = 0
Do
ess = ess + 1
xa = Rnd
ya = Rnd
xb = Rnd
yb = Rnd
xc = Rnd
yc = Rnd
If ((1 / 2) * ((xb - xa) * (yc - ya) - (xc - xa) * (yb - ya))) > 0 Then
n = n + 1
End If

Loop Until ess = 1000000
MsgBox n / 1000000   'retourne environ 0,5
End Sub

Pas besoin d'une simulation pour réaliser qu'à un triangle d'orientation positive correspond par symétrie (par rapport à une médiane du carré, par exemple) un triangle d'orientation positive !

Bonjour,
Maintenant qu'on est tous d'accord sur ce qui se passe quand on oriente les triangles et si on revenait à l'exercice initial ? La valeur théorique de l'espérance de l'aire du triangle ABC

Le calcul bourrin me fait un peu peur.
Si Vassilia pose le problème, c'est sûrement qu'il y a moyen d'éviter ce calcul bourrin. Je l'ai peut-être su, mais j'ai oublié.
Une remarque : l'espérance de l'aire est le quart de la probabilité que 4 points au hasard dans le carré aient un triangle comme enveloppe convexe. Ça ne fait sans doute pas beaucoup avancer le schmilblick.

Effectivement, je ne suis pas une grande adepte des calculs bourrins (pas du tout en fait)

Une approche pourrait être de s'intéresser à l'ordre des abscisses et l'ordre des ordonnées pour obtenir un certain nombre de configurations possibles.
Ces configurations peuvent se répartir en 2 grandes familles en fonction d'inégalités entre une variable aléatoire et le min ou max de 2 variables aléatoires.
Pour les configurations d'une famille donnée, l'espérance mathématique de l'aire du triangle ABC est assez facile à calculer comme on peut calculer l'espérance des coordonnées des points.

Je ne sais pas si je suis claire, j'ai essayé de donner les clés de la démonstration que je connais sans trop en dire.
Je pense que c'est le genre de chose que tu devrais aimer.

Mouais ... à voir.

Je me souviens avoir calculé la distance moyenne de deux points au hasard dans le carré. C'est déjà assez casse-pieds.

Un lien pour la distance moyenne de deux points dans un carré :

Ce n'est pas vraiment le même problème, pour calculer une distance, il me faut et je ne peux pas en faire grand chose
Par contre pour calculer
car indépendance des variables

Je pourrai donc remplacer les coordonnées des points par leurs espérances une fois que je saurai de quelles configurations je parle pour cette histoire de signe.

On va étudier les 36 configurations équiprobables
-6 configurations pour les abscisses ; ; ; ; et
-pour chaque configurations pour les abscisses, il y a aussi 6 configurations pour les ordonnées.

En pratique, on peut les regrouper en 2 familles
Famille F1 : Le point coincé au milieu de l'inégalité (A,B ou C) est le même pour les abscisses et les ordonnées. Ce qui donne 3x4=12 configurations  
Famille F2 : Autre cas de figures. Ce qui donne 36-12=24 configurations

Il est connu et on peut démontrer assez facilement que
et

Pour les configurations F1 avec B comme point coincé par exemple, cela donne les cas suivants correspondants à et

On notera qu'on a remplacé l'ensemble des coordonnées possibles par les espérances, un calcul de l'aire de n'importe lequel de ces triangles donne AC x BH/2 = AC x AC/12 = 1/24

Pour les configurations F2, en remplaçant là aussi les coordonnées possibles par les espérances, on aura quelque chose de ce genre

Un calcul de l'aire du triangle donne

Au final, en pondérant par la probabilité d'avoir telle ou telle configuration, l'espérance de l'aire de ABC vaut



Source : Diophante

PS : je relirai le lien que tu as mis, là je n'ai pas tout suivi mais à première vue, ça va être casse pied de faire comme ça, je confirme

En m'y remettant plus sérieusement après-manger, j'ai fini par comprendre l'utilisation de la formule de Cauchy-Crofton (que je ne connaissais pas d'ailleurs, je me coucherai moins bête ce soir).
M'enfin quand même, on a une intégrale quadruple à faire, déjà j'ai pas envie bon ben pas grave on va faire une intégrale sextuple, ça ira mieux
C'est pas faux, pour calculer l'espérance du périmètre peut-être.

Merci Vassilia pour l'explication.

Un point ne me paraît pas très clair : d'où sort le (5/12,7/12)  ? Je vois bien la construction géométrique, mais quel est l'argument probabiliste derrière ?
J'y réfléchirai.

Pour les configurations F1, tu remarqueras que [AC] forme une diagonale d'un carré et on doit placer le point B à l'intérieur.
Si on le place parfois au dessus, parfois en dessous de cette diagonale, on va avoir un problème de signe quand on va utiliser l'espérance puisque les triangles en dessous vont "annuler" les triangles au dessus.
Donc toujours la même stratégie, on sépare les configurations et on va placer B uniformément soit au dessus, soit en dessous.

Je te fais une démonstration probabiliste pour (X,Y) un couple de variable aléatoire de loi uniforme sur le triangle O(0,0) ; I(1,0) et J(0,1)
L'aire du triangle est 1/2 donc la densité de (X,Y) est donnée par
On en déduit la densité marginale


Ensuite, on s'en sort sans trop de difficulté avec des transformations pour n'importe lequel de nos triangles isocèle-rectangle.

Ouais, je vois.

Et maintenant, le périmètre moyen ?

Ben là comme ça, je n'ai rien de miraculeux, tu m'accorderas j'espère que les calculs n'étaient pas si bourrins que ça pour l'espérance de l'aire, non ?

Moi je fais les intégrales simples d'un polynôme (ça me serait utile pour démontrer le résultat que j'ai annoncé sur l'espérance du min et du max également). Toi tu fais Cauchy-Crofton pour se dépatouiller des intégrales multiples. Je trouve qu'on a une répartition des taches parfaitement équitable

Plus sérieusement, si tu le fais, je lirai volontiers mais je ne suis pas assez à l'aise dans ce domaine pour m'y lancer.

Même en partant de la distance moyenne de deux points dans le carré, qui est

   ?

Ah ben si j'ai le droit de tricher honteusement avec un résultat que je saurai difficilement retrouver, l'espérance est linéaire donc l'espérance du périmètre est 3 fois plus grande que l'espérance de la distance entre 2 points

Une simulation pour faire plaisir à flight

def perimetre(n):
   somme=0
   for i in range (n):
       xa=random();xb=random();xc=random()
       ya=random();yb=random();yc=random()
       somme+= sqrt((xa-xb)^2+(ya-yb)^2)+sqrt((xa-xc)^2+(ya-yc)^2)+sqrt((xc-xb)^2+(yc-yb)^2)
   return somme/n

print(perimetre(10000000))

Au final, si certains la veulent, j'ai mis une démonstration pour le min et le max ici suite à une autre question Intervalle de temps moyen

Et maintenant, si on prend trois points au hasard dans un disque de rayon 1 ...

aire moyenne du triangle ?

périmètre moyen du triangle ?

Arf, j'imagine que tu vas toujours t'en sortir avec le périmètre mais moi par contre il va falloir que je revoie ma copie pour l'aire.
Il n'y a plus indépendance entre X et Y et ça ne va pas m'arranger du tout cette histoire.
Faut voir comment on peut s'en sortir sans trop s'arracher les cheveux mais vu la tête des densités marginales sur ]-1,1[ je sens que je ne vais pas aimer les calculs.
Tu ferais comment toi ?

Peut-être en fixant la direction d'un côté en le faisant horizontal. Soit alors D la droite horizontale support de ce côté. On fait intervenir la distance du centre du disque à D, la distance du troisième point à D et la longueur du côté porté par D.
C'est juste une idée, je n'ai pas poussé plus loin l'exploration.

Si on connaît la distance au centre de la droite support ainsi que la distance du coté sur ce support, ça devrait le faire je pense.

Pour le 3eme point, il est soit d'un coté, soit de l'autre, on a besoin que de Y donc pas de problème d'indépendance. On va pouvoir remplacer par l'espérance en faisant le calcul avec la densité marginale puis pondérer par l'aire de notre partie du disque un peu comme on avait fait précédemment.

Mais il y a un "si" dans l'histoire et je ne vois pas trop comment m'en sortir raisonnablement. Déjà que je ne suis pas trop à l'aise avec le calcul de la distance moyenne entre 2 points. Là, il faut faire dépendre cette distance de la distance au centre de la droite passant par ces 2 points. L'idée est bonne, j'imagine que ça doit être faisable mais vraiment difficile pour moi.