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Probabilités et séries
Posté par ElGerrothorax
Bonsoir à tous et à toutes, je me permet de faire appel à vous, car je suis bloqué par rapport à une question de calcul d'espérance et j'ai beau essayer je n'arrive pas à me dépatouiller de cette affaire. Voici mon énoncé:
On lance un dé non pipé autant de fois que l'on en a besoin de façon indépendante.
U est la variable égale au rang d'apparition du premier 6 précédé d'un 6.
T est la variable égale au rang d'apparition du premier 1 précédé d'un 6.
Si est l'évènement "on a un 6 au i-ème lancer de dé". Ai est l'événement "on a un 1 au i-ème lancer de dé".
1)Calculer les probabilités suivantes
a) P(U=1), P(U=2) P(U=3)
b) P(T=1) P(T=2) P(T=3)
Pas de soucis pour ces questions j'ai vérifié mes résultats.
2)On pose un=P(U=n) pour tout n>=1
a) Montrer que P(S1barre (U=n+2)=5/6P(U=n+1)
et que P(S1S2barre
(U=n+2)=5/36P(U=n)
Cela se démontre bien avec la formule des probabilités composées.
b)Montrer que un+2=5/6un+1+5/36un
Avec la formule des probabilités totales cela fonctionne bien.
c)En déduire que U admet une espérance (sans chercher à la calculer)
Et là j'ai un gros doute :
Au début j'ai bêtement tenté de trouver le terme général un mais les résultats sont assez atroces. Impossible de retourner à la définition d'une espérance d'une variable aléatoire discrète sans pourvoir calculer la somme de la série avec un!
Comment faudrait-il justifier ce résultat?
d)Calculer E(U) en remarquant que
Pareil pour cette question, je suis un peu largué. J'imagine que l'on doit utiliser le fait qu'on reconnaît une série géométrique dérivée et donc dire qu'elle converge mais j'ai quelques doutes.
Je vous remercie d'avoir pris le temps de lire ce long post et vous souhaite une bonne soirée!
Bonjour
tu devrais pouvoir comparer le terme général de ta série (celle qui sert à calculer l'espérance) avec celui d'une autre dont tu sais qu'elle converge, dans le genre dérivée d'une géométrique de raison 5/6
ça te prouvera la convergence de la série, sans en donner la somme, que tu calculeras au d), en utilisant la relation de récurrence, vraisemblablement (je n'ai pas fait le calcul précis) en établissant une équation en E(U) par décalages d'indices dans les sommes
Je vous remercie de votre réponse mais je ne suis pas sûr d'avoir bien compris :
J'ai exprimé un de la sorte (comme le discriminant de l'équation caractéristique est positif):
Ar1^n +Br2^n avec r1 et r2 les deux racines réelles que j'ai trouvé qui ont toutes les deux une valeur comprise entre -1 et 1.
Si on s'intéresse à la série des uk avec cette expression, on se retrouve avec une somme de séries géométriques de raison -1<r<1 (dois-je justifier avec la convergence absolue pour la racine qui est négative?) qui donc convergent(les valeurs de alpha et beta nous importent peu selon moi) donc U admet une espérance. Avec ce résultat je ne pense pas qu'il soit nécessaire de passer par une comparaison avec une série convergente que l'on connaît et d'utiliser le critère de comparaison de suites à termes positifs.
Le problème c'est que si on utilise ces résultats pour un j'ai peur que les deux constantes compliquent les choses dans le calcul de E(U) non?