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Probabilites et suites
Bonjour, j'aimerais savoir si j'ai fait une erreur sur l'exercice suivant:
Chaque semaine,un agriculteur propose en vente directe a chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de developpement durable,il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande a ce que chaque semaine,le client rapporte sa bouteille vide.
On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant.
Une etude statistique realisee donne les resultats suivants:
A l'issue de la premiere semaine, la probabilite qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9;
Si le client a rapporte la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilite qu'il ramene la bouteille du panier la semaine suivante est 0,95 ;
Si le client n'a pas rapporte la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilite qu'il la ramene la semaine suivante est 0,2.
On choisit au hasard un client parmi la clientele de l'agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn l'evenement "le client rapporte la bouteille de son panier la n-ieme semaine".
1-Pour tout entier naturel n non nul, on note rn la probabilite que le client rapporte la bouteille du panier de la n-ieme semaine. On a alors rn=P(Rn). Completer l'arbre pondere (aucune justification n'est attendue): J'ai mis l'image de l'abre pondere rempli en bas du message.
2-Justifier que pour tout entier naturel n non nul, rn+1=0,75 
rn+0,2.
3-Pour tout entier naturel n non nul, on considere la suite (vn) definie par vn=rn-0,8.
Demontrer que la suite (vn) est geometrique. Preciser sa raison et son premier terme.
4-Determiner,pour tout entier naturel n non nul,l'expression de rn en fonction de n.
5-Conjecturer la limite de la suite (rn) quand n tend vers +l'infini.
Interpreter le resultat dans le contexte de l'exercice.
Voici ce que j'ai fait:
1-L'image est en bas du message.
2-Pour tout entier naturel n non nul,on a:
Je suis desolee mais je n'ai pas trouve comment ecrire l'inverse de la probabilite sur LaTex.
3-Pour tout entier naturel n non nul;
vn=rn-0,8 et rn=vn+0,8.
Par consequent la suite (vn) est geometrique de raison q=0,75 et de premier terme v1=0,1.
4-Pour tout entier naturel n non nul on a: vn=0,10,75n.
Or rn=vn+0,8 donc rn=0,10,75n+0,8.
5-Il semblerait que 0,75n tende vers 0 quand n tend vers +.
Donc il semblerait que rn tende vers 0,8 quand n tend vers +.
Cela signifie que,sur le long terme,la probabilite que le client rapporte la bouteille de son panier est 0,8.
Merci beaucoup
la FAQ du forum
2-Pour tout entier naturel n non nul,on a:
Je viens de remarque que j'ai fait une erreur en recopiant ma reponse, ce n'est pas l'invers de Rn+1 mais l'inverse de Rn.
Bonsoir,
Désolée d'insister mais j'aimerais savoir si mes réponses sont justes s'il vous plaît
Merci infiniment
Bonjour,
4-Pour tout entier naturel n non nul on a: vn=0,1
0,75n.
Or rn=vn+0,8 donc rn=0,1
0,75n+0,8.
Je n'ai pas regardé tout ce que tu as fait avant, mais ça c'est faux
L'expression d'une suite géométrique (Vn ) c'est : Vn = Va * q (n-a), Va étant le 1er terme de la suite
Oups,je suis desolee
. Voici l'image: (excusez la qualite de la photo)
illisible
Je n'ai pas compris ce que tu as fait pour la 2ème question( ce qui ne veut pas dire que c'est faux)
Je n'ai pas compris ce que tu as fait pour la 2ème question( ce qui ne veut pas dire que c'est faux)
Ah ça y est, je crois avoir compris, tu as voulu appliquer la formule des probabilités totales, mais tu l'as mal appliqué, revois ton cours.
En plus, on ne parle pas d'inverse pour des probabilités.
Bonjour azerti75,désolée d'avoir mis du temps à répondre mais je n'avais pas vu qu'il y avait des réponses...
Oui,je m'étais trompée, ce n'est pas l'inverse mais le contraire,j'ai utilise la propriété:
Si Rn et le contraire de Rn sont deux évènements contaires alors p(Rn+1)=p(Rn
Rn+1)+p(contraire de RnRn+1).
Pour l'arbre de probabilité je viens de reprendre une photo:
Pour la question 4- j'ai modifié ma réponse:
Pour tout entier naturel n non nul on a vn=0,1×0,75n-1.
Or rn=vn+0,8 donc rn=0,1×0,75n-1+0,8.
Bonjour,
Pour la question 4- j'ai modifié ma réponse:
Pour tout entier naturel n non nul on a vn=0,1×0,75n-1.
Or rn=vn+0,8 donc rn=0,1×0,75n-1+0,8.
C'est bon, tu aurais pu voir ton erreur en vérifiant avec quelques valeurs .
Exemple : avec la 1ère formule que tu avais trouvée, on obtient : v1= 0,1 * 0,75= 0,075, alors qu'en fait v1= 0,1
Oui,je m'étais trompée, ce n'est pas l'inverse mais le contraire,j'ai utilise la propriété:
p(Rn+1)=p(Rn
Rn+1)+p(contraire de RnRn+1).
Ok, c'est bon
2-Pour tout entier naturel n non nul,on a:
Je viens de remarque que j'ai fait une erreur en recopiant ma reponse, ce n'est pas l'invers de Rn+1 mais l'inverse de Rn.
Il faut détailler plus les calculs et expliquer davantage:
P(Rn+1) = P (Rn+1
Or, P(Rn+1
De même, P (Rn+1
Or P(Rnbarre) = 1- P (Rn) = 1 - r n
Donc P (Rn+1
car si le client n'a pas rapporte la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilite qu'il la ramene la semaine suivante est 0,2, etc, etc.....
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