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Probabilités [L1]

Posté par Emmylou (invité) 17-03-05 à 19:00


Bonjour.

J'ai un problème de probas >_<
Deux en fait.

Le premier parle d'allèle, de gêne yeux bleus et de gênes yeux marrons.
Et j'aurai besoin d'être sûre de ce que j'affirme.
Alors, le gêne yeux bleus est récessif, alors que l'autre est dominant. Pour avoir les yeux bleus, il faut deux allèles yeux bleus, sinon, les yeux sont marrons. La probabilité de transmission est la même pour chaque gêne et la transmission se fait indépendament.
Alors, Smith (le héros de notre histoire) et ses parents ont les yeux marrons, mais sa soeur a les yeux bleus.

On me demande d'abord la proba que Smith ait un gêne bleu, ce à quoi j'ai répondu 1/2. (Proba conditionnelle ou raisonnement logique, au final, j'arrive au même résultat )

Puis, on me dit que la femme de Smith a les yeux bleus et on me demande de calculer la proba que leur enfant ait les yeux bleus.
La proba est aussi 1/2, puisque Smith transmettra le gêne yeux bleus avec une proba de 1/2 et sa femme une proba de 1.
(Non ?)

Et enfin, on me dit que le 1e enfant a les yeux marrons, et on me demande la proba que le 2e ait les yeux marrons.
Je serai tentée de répondre encore 1/2. Puisqu'il aura les yeux marrons si son père lui transmet le gêne, donc avec une proba de 1/2.

Seulement, je suis perturbée par le fait qu'on me parle de la soeur de Smith qui a les yeux bleus et qu'on me précise la couleur des yeux du premier enfant, comme s'il y avait un rapport ???


J'ai un autre problème...
On a volé la Joconde (si si !) et quand on finit par la retrouver on estime à 80% les chances qu'elle soit vraie.
On demande leur avis à des experts, l'un qui se trompe 1 fois sur 5 dit qu'elle est vraie, l'autre qui se trompe 2 fois sur 12 dit qu'elle est fausse. Les avis des deux sont indépendants.
Quelle est la probabiblité que la Joconde retrouvée soit la vraie ?

Je sais que en posant A=c'est la vrai, donc p(A)=0.8 et B=le 1e expert dit qu'elle est vraie, le 2d qu'elle est fausse, je dois calculer la probabilité de p(A/B).
Seulement, j'arrive pas à trouver comment.

Je ne suis pas sûre de p(B), est-ce que c'est bien (4/5)*(2/12) où (4/5) la proba que le 1e expert ne se trompe pas et 2/12 celle que le 2d se trompe ?

Mais alors, comment je trouve p(AB) ?


Ca m'énerve de pas trouver. J'arrive pas à voir les trucs comme il faut :'(

Merci de votre aide



Emmylou.

Posté par titimarion (invité)re : Probabilités [L1] 17-03-05 à 20:08

Salut
Pour le premier exo
Les parents ayant tous les deux les yeux marrons et la soeur de Smith ayant les yeux bleus cela implique que nécessairement Les parents ont une allèle bleu et une allele marron.
Ainsi la proba que smith ait une allele bleu sachant qu'il a les yeux marrons est de 2/3. (bleu-marron avec proba 2/3 et marron-marron) avec proba 1/3 et bleu-bleu avec proba 0.)
P(fille ait les yeux bleus)=P(Smith=bleu-marron)*1/2+P(Smith=marron-marron)*0=2/3*1/2=2/6=1/3

Pour ce qui est de la probabilité pour le second enfant je dirais que c'est la même que celle calculée précédemment car les evenements naissance du premier enfant et naissance du deuxieme enfant peuvent etre considérés comme indépendant

Posté par titimarion (invité)re : Probabilités [L1] 17-03-05 à 20:18

Pour le 2) j'ai un peu du mal à comprendre ton énoncé, si c'est juste  la proba de l'intersection que tu veux
P(A\cap B)=P(\mbox{ Le premier ait raison et le deuxieme est tort })=\frac{4\times 2}{5\times 12}=\frac{8}{60}=\frac{2}{25}

Posté par Emmylou (invité)re : Probabilités [L1] 19-03-05 à 12:14


B'jour.

Merci pour l'éclaircissement pour le premier problème

Pour le second, je pensais devoir calculer p(A/B) avec A="On a retrouvé la vraie" et B="Le premier dit qu'elle est vraie, le 2d dit qu'elle est fausse" parce que j'ai fait un problème du même style (avec la météo, une grenouille et le beau temps à la place des experts et de la peinture) et que dans l'esquisse de correction de mon DM, le prof a écrit "Il faut calculer p(A/B) avec A="Il fait beau" et B="La grenouille dit beau et la météo pluie".
Seulement, je n'ai pas eu le droit à plus de détails.

Du coup, j'suis toujours bloquée.
Je n'vois pas la lumièèèèère

Si jamais vous pourriez m'aider çe tirerai de mon incompréhension >_<

M'ci

Emmylou.

Posté par Emmylou (invité)[L1] Probabilités (bis repetita) 20-03-05 à 15:12


Bonjour.


Je reviens avec mon problème de Joconde, au cas où quelqu'un serait re-inspiré.
(Qui ne tente rien n'a rien)

Donc, on a volé la Joconde, puis quand on la retrouve quelques mois plus tard, on estime à 80% les chances d'avoir retrouvé la bonne.
Pour être sûr, on fait appel à deux experts : le premier se trompe 1/5 fois et dit qu'il s'agit de la vraie, le 2d se trompe 2/11 fois et dit qu'elle est fausse. Leurs avis sont indépendants.
Qu'elle est la proba d'avoir trouvé la vraie Joconde ?

Je tourne et retourne mes calculs dans tous les sens, et je retombe toujours sur 0.8.
Et ça commence à m'agacer sérieusement, je pense pas que ce puisse être aussi... bête...


Merci d'avance.


Emmylou.



*** message déplacé ***

Posté par
isisstruissre : Probabilités [L1] 21-03-05 à 13:12

J'ai une idée pour ta Joconde. Je pose les évènements
A: la Joconde est vraie
B: l'expert 1 dit "vrai" et l'expert 2 dit "faux".

C1 l'expert 1 se trompe
C2 l'expert 2 se trompe

Je noterai encore l'évènement complémentaire par une barre au dessus, par exemple \bar{A} est l'évenement la Joconde est fausse.

La donnée nous dit que
P(A)=4/5
P(C1)=1/5
P(C2)=1/6

On cherche à calculer P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.

On peut calculer
P(B|A)=P(\bar{C_1})\cdot P(C_2)=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{15}\\ P(B|\bar{A})=P(C_1)\cdot P(\bar{C_2})=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\\ \Rightarrow P(B)=P(B|A)\cdot\cdot P(A)P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})=\frac{2}{15}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{7}{50}

Pour trouver P(AB) on utilise (encore) les probailités conditionelles:
P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\\ \Rightarrow P(AB)=P(B|A)\cdot P(A)=\frac{2}{15}\frac{4}{5}=\frac{8}{75}

On y est finalement:
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{8}{75}}{\frac{7}{50}}=\frac{8}{75}\cdot\frac{50}{7}=\frac{16}{21}

J'ai essayé d'expliquer chaque étape, mais ce genre de raisonnement est courrant et si tu tombes sur un autre problème semblable tu peux appliquer direct la formule suivante. (Pour n'importe quels évènements A et B!)
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A})}

Isis


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