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Niveau Maths sup
Probabilités - Lancer infini de pièces
Posté par Emmebee
Bonsoir,
Je suis en train de faire un exercice de probabilités et je n'arrive pas vraiment à le résoudre :/
Le voici :
Un joueur lance indéfiniment une pièce de monnaie, dont la probabilité d'apparition de pile est , et celle de face
. S'il obtient pile, il marque un point ; s'il obtient face, il marque deux points.
Pour tout entier naturel , on note
l'événement : "Le joueur obtient, au cours du jeu, un score exactement égal à
".
Soit la probabilité de cet événement.
1. Calculer et
.
2. Justifier une relation de récurrence entre ,
et
.
3. En déduire en fonction de
et
.
4. Déterminer la limite de quand
tend vers l'infini.
Ce que j'ai fais :
1. est la probabilité d'avoir exactement un score de 1 au cours de la partie. Cela n'est pas possible si on fait face au premier lancer, cela force de faire pile, ce qui nous donne un point, d'où :
.
De même, on obtient 2 points de de manières uniquement : soit on fait deux fois piles, soit une fois face. Donc .
2. Là, je n'y arrive pas. Je pense qu'il faut utiliser une formule des probabilités totales, j'ai voulu prendre l'événement : "on obtient pile au i-ème tirage", mais ces événements ne forment pas un système complet d'événement. Que prendre ?
3. Suite linéaire récurrente d'ordre 2, je ne pense pas avoir de souci de ce côté-là.
4. Simple calcul de limite j'imagine.
En fait, je pense surtout avoir besoin d'aide pour la question 2...
Merci d'avance ! 
Bonsoir,
C'est vrai, mais j'avoue ne pas comprendre comment utiliser ces égalités :/ (c'est peut-être trivial mais je ne le vois pas :x )
Merci pour la réponse !
Bonjour,
Avec n 
3, on peut obtenir n de 2 manières :
a) Avec un pile précédé de n-1.
b) Avec un face précédé de n-2.
Ce que veulent dire ces égalités c'est que si on a un score égal à dans la partie , c'est qu'on a eu un score égal à
et qu'on a fait pile ou on a eu un score égal à
avec face ...
A écrire proprement maintenant
Bonsoir
En langage ensembliste on a
P est l'événement "le dernier lancé est pile"
F ......
l'union étant disjointe.
Erratum (désolé pour le double-post, j'ai cliqué sur "poster" trop vite :c ) : c'est qui est égal à cela.
Est-ce bon ? ^^
Bonjour carpediem,
Tes messages ne sont pas d'une grande clarté.
Es-tu d'accord ou non avec la réponse de Emmebee à 21h10 ?
pour passer de n - 1 à n il n'y a qu'une possibilité : faire pile
mais pour passer de n - 2 à n il y a deux possibilités : faire une fois face ou faire deux piles consécutifs
ce me semble-t-il ...
"faire 2 piles consécutifs" n'est pas disjoint de "pour passer de n - 1 à n il n'y a qu'une possibilité : faire pile".
j'y ai pensé tout d'un coup ... au moment de poster ...
je ne sais pas pourquoi je suis parti sur cette idée dès le départ ...
donc je suis d'accord ...
Bonjour,
Je propose une autre mouture de l'exercice ici : 
Lancer infini de pièces