Bonjour,

Combien y a-t-il de mains possibles ?

Première méthode
= nb de possibilités de choisir 5 éléments dans un ensemble de 32, sachant que l'ordre final des 5 éléments ne comptent pas


Seconde méthode (qui est en fait la même)
choix de la 1ère carte : 32 possibilités
choix de la 2ème carte : 31 possibilités
...
choix de la 5ème carte : 28 possibilités
nombre de possibilités = 32*31*30*29*28 = 24 165 120
mais l'ordre des cartes dans la main ne comptent pas ; il faut diviser par le nombre de permutations possibles de 5 éléments, c'est-à-dire 5!
On obtient : 201 376

Quelle est la probabilité d'avoir un carré, soit 4 cartes identiques ?

Première méthode, par dénombrement :

choix de la première carte du carré : 32 possibilités
choix de la seconde carte du carré : 3 possibilités
choix de la troisième carte du carré : 2 possibilités
choix de la quatrième carte du carré : 1 possibilité
choix de la cinquième carte de la main : 28 possibilités
place de 5ème carte dans la main : *5
= 26 880 façons de tirer un carré, si l'ordre des cartes compte.
Or l'ordre ne compte pas ; donc il faut diviser par 5!
On obtient 224 possibilités
La probabilité cherchée vaut donc 224/201376 = 1/899

Seconde méthode, par probabilité successive :

1er cas : la carte différente des autres est choisie au début, puis on tire un carré
P(1er cas)
= 1 (on choisit une carte)
__ * 28/31 (on choisit une 2nde carte différente de la première)
__ * 3/30 (on choisit une 3ème carte identique à la seconde)
__ * 2/29 (on choisit une 4ème carte identique à la seconde)
__ * 1/28 (on choisit une 5ème carte identique à la seconde)
= 1/4495

2ème cas : la carte différente des autres est choisie en 2ème position ; le carré est donc constitué des cartes n°1, 3, 4 et 5.
De même, P(2ème cas) = 1/4495

3ème cas : la carte différente des autres est choisie en 3ème position
De même, P(3ème cas) = 1/4495

4ème cas : la carte différente des autres est choisie en 3ème position
De même, P(4ème cas) = 1/4495

5ème cas : la carte différente des autres est choisie en 3ème position
De même, P(5ème cas) = 1/4495

Finalement, la probabilité cherchée vaut :
5/4495 = 1/899

Sauf erreur !

Nicolas

C(32,5) = 201376 mains possibles
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Proba d'un carré (à la donne)

un carré d'as = 4as et 1 autre carte, il y a 28 cartes qui ne sont pas des as -->
il y a 28 carrés d'as différents.

Idem pour les autres carrés (de rois , de dames, de ...)

Il y a donc 28 * 8 = 224 carrés différents.

--> Proba d'avoir 1 carré = 224/(C(32,5)) = 24/201376 = 3/25172 = 0,00011918
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Bonjour J-P
Faute de frappe à la fin de ton message :
Proba d'avoir 1 carré = 224/(C(32,5)) = 224/201376 = 1/899

Erreur de calcul dans ma dernière ligne:

--> Proba d'avoir 1 carré = 224/(C(32,5)) = 224/201376 = 1/899 = 0,00111

Oups, trop tard.

Oui Nicolas

Ta solution est bien plus élégante que les deux miennes, bourrines à souhait.

8 choix pour le carréet ensuite 28 possibilités pour la 5ième carte=>p(un carré)=8*28/C(32,5)
Pour la couleur,il y a 4 choix pour la couleur et ensuite on prend 5 cartes dans la couleur choisie=>p=4*C(8,5)/C(32,5)
la dernière question demande un peu plus de réflexion( je ne veux pas recommencer les étourderies d'hier et il faut que je retourne à mes casseroles)

Variante pour la couleur:

La première carte prise est toujours OK.
Il reste 7 cartes de la même couleur sur 31 pour prendre la 2 ème carte --> proba de même couleur = 7/31

Proba 3ème carte de même couleur = 6/30
Proba 4ème carte de même couleur = 5/29
Proba 5ème carte de même couleur = 4/28

Proba d'avoir une couleur = (7/31)*(6/30)*(5/29)*(4/28) = 1/899
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Sauf distraction.  

Merci. Et pour la dernière question, qui me semble être la plus difficile ?

Sachant que 2 cartes au moins sont identiques, quelle est la probabilité d'avoir un carré ?

[(2/4495)inter(1/899)]/(1/899) ?

Sachant que 2 cartes au moins sont identiques, quelle est la probabilité d'avoir un carré ?

Proba d'avoir 5 cartes différentes (0 paire).

La première carte est toujours OK.
Pour la 2 ème carte, il reste 31 cartes dont 3 interdites --> 28/31
Pour la 3 ème carte, il reste 30 cartes dont 6 interdites --> 24/30
Pour la 4 ème carte, il reste 29 cartes dont 9 interdites --> 20/29
Pour la 5 ème carte, il reste 28 cartes dont 12 interdites --> 16/28

Proba d'avoir 5 cartes différentes = (28/31)*(24/30)*(20/29)*(16/28) = 256/899

Proba d'avoir au moins 1 paire = 1 - Proba d'avoir 5 cartes différentes

Proba d'avoir au moins 1 paire = 1 - (256/899) = 643/899

Comme il y a 201376 mains différentes, il y en a: 201376 * (643/899) = 144032 mains différentes contenant au moins 1 paires.

Or il y a 224 mains différentes avec un carré.

--> proba d'avoir 1 carré si on sait qu'on a au moins 1 paire = 224/144032 = 1/643
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Mais la proba que je me sois trompé est loin d'être nulle.  

Merci, le principe est quand même là.

bonsoir,je suis d'accord pour la probabilité de l'événement B:avoir au moins une paire.on cherche p(C/B)=P(C et B)/p(B) or C=>B ( si on a un carré on a au moins une paire) donc p(C/B)= p(C)/p(B) ma calculatrice est en panne mais je ne crois pas que ça donne le même résultat????