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Probabilités reines qui s?attaquent sur un échiquier n x n
Bonjour bonjour,
J?aurais besoin d?aide pour un problème qui n?a rien à avoir avec le bac dans quelques jours mais j?espère avoir quelques pistes d?aide tout de même.
(Pour les multiplications j?utiliserai « x », j?en suis désolé mais je ne maitrise pas du tout la syntaxe)
Il s?agit d?un problème de probabilité de seconde difficile.
L?énoncé est le suivant :
Trouver la probabilité pour que deux reines placées aléatoirement sur un échiquier 8x8 s'attaquent mutuellement. Une reine contrôle la colonne, la rangée et les deux diagonales qui partent de la case où elle se trouve.
Généralisation avec un échiquier n x n.
Pour ce qui est du cas particulier 8x8 il suffit de dénombrer le nombre de façons d?attaquer une case pour toutes les cases, de faire la somme et enfin de diviser par le nombre de façons de poser deux reines (80 x 81)
J?ai attaché une image pour l?illustrer.
La difficulté vient quand on s?intéresse à la generalistation pour un échiquier nxn.
J?ai fait le cas pour 9x9 pour trouver quelques pistes.
On peut remarquer qu?à chaque « couronne », on augmente les possibilités de 2 car 2 cases en diagonales s?ajoutent en se rapprochant du centre.
De plus, les possibilités pour la couronne externe sont de 3(n-1)
(Encore désolé pour la syntaxe)
On a alors quelque chose qui ressemble à :
n^2 x 3(n-1) + a
Pour la somme totale.
Le problème est ce a qui est la somme des multiples de 2 successifs.
J?aurais besoin d?aide pour exprimer ce a en fonction de n. 
salut
Trouver la probabilité pour que deux reines placées aléatoirement sur un échiquier 8x8 s'attaquent mutuellement. Une reine contrôle la colonne, la rangée et les deux diagonales qui partent de la case où elle se trouve.
si on ne connait rien au echec il faut definir la facon dont deux reines s'attaquent sur l'echiquier
ça c'est connu, et l'énoncé donne l'indication : elles s'attaquent si elle sont sur une même colonne, une même rangée ou sur une même diagonale.
Bonsoir fortissimo2.
Je ne suis pas convaincu que ta méthode soit bonne.
Pour comprendre mes doutes tu peux regarder les « échiquiers » 2x2 et 3x3.
re... de ce que je comprend
placement de deux reines sur une meme ligne : n*C(n,2) possibilités
placement de deux reines sur une meme colonne : n*C(n,2) possibilités
placement de deux reines sur une meme diagonale : (4*
C(j,2) )+ 2.C(n,2)) possibilités j compris entre entre 2 et n-1
sous reserve d'erreur
salut
pour placer deux reines il faut placer la première puis la deuxième ...
il y a n^2 choix pour placer la première reine ...
pour que les deux reines s'attaquent mutuellement il faut placer la deuxième reine :
sur la même colonne : n - 1 choix
ou
sur la même ligne : n - 1 choix
ou
sur une des diagonales : 
choix
...
@Verdurin
Bonsoir,
Je ne vois pas trop la raison de vos inquiétudes. J'ai commencé avec des petits cas également et cette méthode fonctionne (ou du moins j'en ai l'impression)
avec un échiquier 2x2, on a un carré avec des 3 partout soit 12 possibilités en tout et on divise par n^2 - (n^2 -1) c'est-à-dire 4x3 donc 12. On obtient alors une probabilité de 1 ce qui est "logique".
Pour n = 3, j'ai une couronne externe de 6 et la case centrale vaut 8 ce qui fait une probabilité de 56/72.
Cela me parait "normal". Aurais-je fais une erreur ?
@Flight
J'ai bien peur de ne pas avoir atteint un niveau suffisant pour comprendre ce que vous avez écrit
Pourriez vous expliciter ce que vous vouliez signifier ? (Je ne suis qu'en terminale ou alors j'ai du mal à comprendre le symbole somme à cause de la présentation)
@Carpediem
C'est justement à cause des diagonales que j'ai adopté cette méthode de dénombrement. Il me semblait judicieux d'exploiter cette "configuration" des possibilités en "couronnes".
Merci à tous de vos réponses.
Je n'ai toujours pas réussi à trouver la formule générale 
mais je pense avoir compris comment ça fonctionne donc j'ai réalisé un algorithme me donnant la probabilité pour un n donné.
Bonne nuit,
Formule générale (en raisonnant par récurrence)
soient les deux suites
Un avec U2=8 et, pour n>2, Un+1=(n+1)(Un/n+4n)
Vn avec V2=4 et, pour n>2, Vn+1=(n+1)(Vn/n +2 +8(n-1)/3)
La probabilité pour que deux reines placées aléatoirement sur un échiquier n par n s'attaquent mutuellement
est (Un + Vn) / (n2(n2-1))
Un traduit que les 2 reines se voient sur une ligne ou une colonne
Vn traduit que les 2 reines se voient sur une diagonale
bonjour
Flight
ne faudrait-il pas multiplier tes résultats par 2?
pour les placements sur une même diagonale on peut simplifier ton expression
Bonjour,
Veleda, les deux reines sont identiques : elles attaquent leur colonne, leur ligne et les deux diagonales sur lesquelles elles se trouvent
Vn avec V2=4 et, pour n>2, Vn+1=(n+1)(Vn/n +2 +8(n-1)/3)
Pourriez vous un peu expliciter la formule s'il vous plait ?
Bonsoir,
--> fortissimo2 : J'ai fait un peu compliqué le 17-06-18 à 01:52 avec U et V, mais c'est juste.
C'est vous qui avez une bonne solution et certainement la plus simple,
Reprenons donc la Somme de toutes les valeurs de votre échiquier du 15-06-18 à 09:03
qui s'exprime au plus simple par l'algorithme :
Somme = 3n2(n-1)
p=n-2
tant que p > 0
Somme = Somme + 2p2
p = p-2
fin du tant que
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