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Probabilités sur des infections et des moustiques
Posté par Tharlart
Bonjour à tous,
Je sollicites votre aide pour un exercice de probabilités dans lequel je penses avoir fait une erreur de raisonnement, mais je n'arrive pas à trouver où.
Voici l'énoncé de l'exercice :
" On place des moustiques femelles non fécondées, dont une proportion est infectée par Wolbachia, en présence de moustiques mâles infectés avec la même probabilité
.
Toutes les femelles sont fécondées, il n'y a qu'une seule fécondation par insecte et l'appariement mâle/femelle est indépendant de l'infection par Wolbachia. Chaque femelle produit alors 100 larves.
Lors de la fécondation des moustiques, on a les résultats suivants selon l'infection par le Wolbachia : cf l'image
Quelle est la probabilité d'infection par Wolbachia dans les larves produites ? "
Voilà mon raisonnement
Soit I l'évènement "être infecté par Wolbachia"
Soit MI l'événement "être un moustique mâle infecté"
Soit FI l'événement "être une moustique femelle infecté"
Soit L l'événement "être une larve"
On nous dit tout d'abord que P(FI) = P(MI) =
Et on nous demande de calculer P(I|L)
Tout d'abord on sait que avec nos notations.
Pour définir l'événement "LI" et "L" on doit maintenant lire le tableau qui se lit de cette manière, par exemple, pour la case qui représente l'événement ,
Or, on nous dit que "l'appariement mâle/femelle est indépendant de l'infection" ce qui implique que lorsque on va calculer nos intersection en lisant le tableau on va devoir enfaite multiplier nos probabilité par définition de l'indépendance (2 événements A et B sont indépendants ssi ).
On remarque de plus que l'événement "LI" survient dans tout les cas où FI survient donc on peut dire que P(LI) = P(FI) = .
Pour calculer P(L) on va juste passer par le complémentaire pour nous faciliter car il apparaît que dans un seul cas :
Donc on a enfin :
Là où je penses avoir fait l'erreur c'est lorsque j'ai traduis l'indépendance car si cela était correcte en lisant la case larve non infecté je devrais en déduire que
Or c'est plutôt cela que je trouve :
ou peut-être que j'ai mal compris l'énoncé
Je vous remercie d'avance pour vos éclaircissements!!
Bonjour,
Pourquoi penses-tu avoir fait une erreur ?
Je trouve le même résultat que toi.
J'ai mis des fréquences dans le tableau :
q2 en haut à gauche. q(1-q) en haut à droite.
(1-q)2 en bas à droite.
La fréquence des larves infectées parmi les larves est le quotient de la somme des deux cases du haut divisé par la somme des trois cases.
Plusieurs remarques :
Si q = 0, le résultat trouvé est nul. Si aucun des moustiques parents n'est infecté, alors aucune larve ne le sera.
Si q = 1, le résultat trouvé est égal à 1. Si tous les moustiques sont infectés alors toutes les larves le seront.
Pour q non nul, on peut écrire ainsi ce quotient :
Et vérifier que .
Le résultat trouvé est bien inférieur ou égal à 1.
Je n'avais pas lu ceci
Citation :
Là où je penses avoir fait l'erreur c'est lorsque j'ai traduis l'indépendance car si cela était correcte en lisant la case larve non infecté je devrais en déduire que = 1 - \varphi )
L'événement contraire de Là où je penses avoir fait l'erreur c'est lorsque j'ai traduis l'indépendance car si cela était correcte en lisant la case larve non infecté je devrais en déduire que
Ha mais oui parceque on a dis que LI c'est donc d'après les lois de Morgan le complémentaire c'est
Delà en appliquant notre raisonnement et en utilisant la phrase de l'énoncé qui dit qu'il ya une seule fécondation par femelle ( symbolisée par nos intersection) alors quand on fait l'union on peut considérer nos 2 ou plus fécondations comme incompatibles ce qui explique pourquoi on fait la somme ( si j'ai bien compris ce bout d'énoncé 
) on aurait :
Parfait, du coup dernière petite question pour la compréhension de l'énoncé:
Quand on dit que l'infection et l'appariement sont indépendants cela signifie que quand on lit le tableau pour calculer une intersection on multiplie juste les proba comme on a fait ou
c'est une autre raison ?