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Niveau Licence Maths 1e ann
Probabilités : tirage et combinaisons de chaussettes
Posté par nerdd97
Bonjour,
J'ai du mal à comprendre un problème classique (d'ailleurs retrouvé sur le forum ilemaths.net, sans succès)
Le problème est le suivant :
On a mélangé 10 paires de chaussettes et on choisit au hasard 4 chaussettes. Quelle est la probabilité d'obtenir
a) 2 paires ?
b) au moins une paire ?
c) exactement une paire ?
--------------------------------
SOLUTIONS :
a)Sans problème : cardΩ =C(20,4)=4845 avec A : l'évènement tirer 2 paires
alors cardA = C(10,2)=45
ainsi P(A) = cardΩ/cardA= 0,00929
b) soit B : l'évènement tirer au moins une paire, et Bbarre : tirer aucune paire
ici ça se complique, je sais que :
P(B) = 1 - P(B barre)
une solution proposé par le professeur était : Pour ne pas avoir de paire, il faut choisir 4 paires parmi 10 soit C(10,4) et dans chaque paire, on a 2 chaussettes possibles d'où
card(Bbarre) = C(10,4) * 2^4 = 210 * 16 façons de ne pas avoir de paire
ce que je ne comprendre pas : Si je n'ai le droit de tirer que 4 chaussures (soit 2 paires), pourquoi tire-t'on 4 paires pour calculer la proabilité de ne tirer aucune paires ? Pour moi c'est un non-sens complet ! Please help !
Bonsoir.
Si l'on ne veut aucune paire, alors les 4 chaussettes doivent appartenir à 4 paires différentes.
Donc sur les 10 paires, il faut tirer 4 paires différentes, et il y a C(10,4) manières de les choisir.
Puis à chaque quadruplet de paires possible (P1,P2,P3,P4), on peut associer 2^4 chaussettes différentes car il y a 2 chaussettes par paire.
Il y a donc au total C(10,4)*2^4 manières de choisir 4 chaussettes appartenant à 4 paires différentes.
salut
on peut aussi faire autrement :
on choisi 4 chaussettes parmi les chaussettes pied gauche : C(10,4) = 210
on choisi 4 chaussettes parmi les chaussettes pied droit : C(10,4) = 210
on choisi 4 chaussettes dont 2 pieds gauches et 2 pieds droits : C(10,2)*C(8,2) = 1260
on choisi 4 chaussettes dont 3 pieds gauches et 1 pieds droits : C(10,3)*C(7,1) = 840
on choisi 4 chaussettes dont 1 pieds gauches et 3 pieds droits : C(7,1)*C(10,3) = 840
total = 210+210+1260+840+840 = 3360 cas favorables pour P(Bbarre)