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Probabilités : tirage sans remise

Posté par kool (invité) 21-06-06 à 12:48

Bonjour !

Voilà, j'ai un problème qui n'est pas insoluble, mais qui requiert de la méthodologie que je n'ai pas. Voici l'énoncé :

"Un sac contient 50 boules rouges et 50 boules bleues. 10 boules sont retirées au hasard du sac. Quelle est la probabilité d'obtenir 5 boules rouges et 5 boules bleues ?"

Il doit surement y avoir un calcul simple à effectuer, ce qui m'éviterais de faire un arbre de résolution gigantesque...

Merci de votre aide.

Posté par
alpha20020re : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 13:04

Moi, quand j'ai ce genre d'exo. Je fais une espèce de grand sac et je note dedans les choses que j'ai... Pour visionner la situation...

En l'occurence, ici, on a 50R et 50B, donc on total on a 100 boules...

\textrm{P(5R et 5B)} \\ =\(10\\5\)\cdot\frac{1}{2}^5\cdot\frac{1}{2}^5 \\ =\bar {P}_(5,5)\cdot\frac{1}{2}^5\cdot\frac{1}{2}^5 \\

Sauf erreur, la solution devrait être quelque chose dans le style... tu regardes le nombres de trucs que tu prends, 5 parmi 10 et ensuite tu multiplies par la probabilité d'avoir des R 5 fois et pareil pour les bleues 5 fois...

Désolé si j'ai glissé cà où là quelques erreurs...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 13:20

Bonjour,

Attention, ce n'est pas exactement cela, puisque le tirage est sans remise.

Nicolas

Posté par
alpha20020re : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 13:30

Ah, mince, ca vient vite trop complexe pour moi alors...

Vais quand même retenter...

\textrm{P(5R et 5B)} \\ =\(10\\5\)\cdot\frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}\cdot\frac{47}{97}\cdot\frac{46}{96}\cdot\frac{50}{95}\cdot\frac{49}{94}\cdot\frac{48}{93}\cdot\frac{47}{92}

Mais le \bar {P}_(5,5) \textrm{ et }\(10\\5\) \textrm{ sont-ils corrects?

Bonne après-midi...

Posté par
michelDre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 14:01

Il y a C10100

Posté par
michelDre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 14:15

Oups, désolé j'ai cliqué sur Poster au lieu de Aperçu ...
Je vais faire sans Latex parce que sinon, je vais y passer l'après midi ...

Il y a (10 parmi 100) soit 100!/(10!90!) manières équiprobables de choisir 10 boules parmi 100 sans ordre et sans répétition (bref c'est le nombre de paquets de 10 boules que l'on peut faire).
Parmi ces tirages, il y en a (5 parmi 50)x (5 parmi 50) qui contiennent 5 B et 5 R. Donc la proba cherchée est :

      50!        50!
     ----   x   -----
     5!45!      5!45!      2118760
P=----------------------=----------- environ 1 chance sur 4
           100!            8170019
           ----
          10!90!

A+
Michel

Posté par gus (invité)re : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 14:32

Bonjour,

la proba est la suivante :

5$Proba=(\frac{1}{2})^5\times(\frac{1}{2})^5\times(\frac{10!}{5!\times5!})

ce qui donne :
5$Proba=\frac{63}{256}

remarque : 5$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}
le Tirage est effectué sans remise.

on peut remplacer le tirage simultané de 10 boules par un tirage successif d'une boule 10 x de suite de même probabilité 5$\frac{1}{2} à chaque tirage.

Considérons le tirage ordonné suivant ex :
RRRRR BBBBB (soit 5 rouges et 5 bleues dans cet ordre).
La proba est donc : 5$(\frac{1}{2})^{10} puis nous devons calculer le nombre des ordres possibles :
ce nombre est :
5$(\frac{10!}{5!\times5!})=252

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 14:41

Personnellement, j'aurais procédé comme alpha20020, qui a oublié, me semble-t-il un facteur :

3${10\choose 5}\cdot\frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}\cdot\frac{47}{97}\cdot\frac{46}{96}\cdot\frac{50}{95}\cdot\frac{49}{94}\cdot\frac{48}{93}\cdot\frac{47}{92}\cdot\frac{46}{91}

Posté par gus (invité)erreur de ma part ! 21-06-06 à 14:54

Désolé, le tirage est effectué sans remise !


5$Proba=\frac{50}{100}\times\frac{49}{99}\times\frac{48}{98}\times\frac{47}{97}\times\frac{46}{96}\times\frac{50}{95}\times\frac{49}{94}\times\frac{48}{93}\times\frac{47}{92}\times\frac{46}{91}\times\frac{10!}{5!\times5!}

Ce  qui donne après simplification et sauf erreur de ma part :

5$\frac{99581720}{383990893}

à chaque tirage d'une boule , il reste une boule en moins dans l'urne., et une boule de couleur en moins.

Posté par kool (invité)re : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 15:52

Merci à tous pour votre aide !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 15:59

Pour ma part, je t'en prie.

Posté par
michelDre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 16:02

Nous sommes d'accord, ma proba est égale à la votre. Votre produit 50!x49!x...x46!=50!/45!, idem pour le dénominateur.
Michel

Posté par
michelDre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 16:04

et pour terminer le quotient de Gus se simplifie.

Posté par bret (invité)re : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 16:56

Voila ma solution (je suis d'accord avec Michel )

Tirer les boules une par une donne le même résultat que les tirer toutes en meme temps (car il n"y a pas de remise)

Le nombre de combianisons est égal à : nbre de combinaisons pour piocher 5 rouges parmi les 50 * nbre de combinaisons pour piocher 5 bleues parmi les 50

= C_{50}^5 * C_{50}^5

C'est ce qui donne la loi dite hypergéométrique de paramètres 100,10,50 :

Probabilité de piocher 5 blanches en en piochant 10 :
C_{50}^5 * C_{50}^5 / C_{100}^{10}

Sauf erreurs,

bret

Posté par Laety (invité)re : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 19:04

bonsoir,

Entièrement d'accord avec toi Bret, dans la mesure où il n'y pas d'ordre qui intervient, on utilise les combinaisons en faisant le calcul : proba = nombre de tirages favorables/nombre total de tirages.

Posté par
Bourricotre : Probabilités : tirage sans remise 21-06-06 à 19:11

Bret a raison

le nombre de tirages de 10 boules sans remise sans ordre parmi 100 c'est le nombre de combinaisons de 10 parmi 100

le nombre de tirages de 5 boules parmi 50 rouges sans remise sans ordre c'est le nombre de combinaisons de 5 parmi 50

idem pour les bleues d'où la réponse de Bret

Posté par
jean47Tirage 22-06-06 à 19:20

Bonsoir
Pour vous aider modestement, je sais que pour le loto à 6 numeros:
49*48*47*46*45*44/6*5*4*3*2*1 sans remise

avec remise:
49*48*47*46*45*44

Bonne soirée
Jean

Posté par
Bourricotre : Probabilités : tirage sans remise 22-06-06 à 19:39

jean47,

Ton écriture manque de rigueur ; ce que tu écris
49*48*47*46*45*44/6*5*4*3*2*1
c'est le nombre de tirages du loto posssibles ; c'est à dire le nombre de combinaisons de 6 parmi 49

La probabilté de gagner (puisqu'il y a 1 cas favorable = celui qui gagne) est donc

1 / (49*48*47*46*45*44/6*5*4*3*2*1) = 6*5*4*3*2*1 / 49*48*47*46*45*44

et au loto on ne remet pas la boule tirée (on ne peut pas avoir 2 fois la même boule qui soit tirée ....) comment cocher 2 ou 3 fois la même case sur la grille ???

Posté par
jean47suite 22-06-06 à 20:02

je donnais le nombre de tirages possibles ben sûr.
SI! si on remettait la boule tirée dans la sphère apres chaque tirage,  on aurait alors le nombre que j'ai donné avec remise.
C'est un exemple seulement pour illustrer le sujet
Bonne soirée

Posté par
Bourricotre : Probabilités : tirage sans remise 22-06-06 à 20:06

pardon je n'avais pas complètement bien compris le but ton message

Posté par roul (invité)re : Probabilités : tirage sans remise 07-09-06 à 13:15

la réponse n'est pas

50C5 * 50C5 / 100C10

mais 50C5 / 100C10 * 50C5 / 100C10.


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