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Probabilités - Variable aléatoire

Posté par
markland
15-01-18 à 17:34

Bonsoir,

j'ai un QCM avec pour énoncé :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans l'ensemble {n!, n ) telle que :  P (X=n)= a/n!
L'unique valeur de a pour laquelle on a bien défini une probabilité est égale à :

5 valeurs  comprenant toute "e". Ces valeurs ne m'aident pas car je n'arrive pas a trouver le lien avec le nombre exponentiel du coup je n'arrive pas a commencer. J'ai pensé à utiliser \sum_{k}^{}{P(X=xk)} = 1 mais je n'arrive pas à bout de mon calcul. Ainsi des indices seraient les bienvenus.

Merci d'avance

Posté par
Schtromphmol
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 17:50

Bonjour,

Rappel : \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k!}} = e^x.

Posté par
verdurin
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 18:16

Bonsoir,
je pense qu'il y a une faute de frappe dans ton message :

P (X=n{\color{red}!})= a/n! me semble vraisemblable compte tenu de l'ensemble des valeurs prises par X.

Posté par
markland
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 18:37

Je médite toujours sur la formule que Schtromphmol m'a rappelé et sinon l'énoncé est donné tel quel je ne me suis pas trompé.  Le premier énoncé est donc erroné ?

Posté par
veleda
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 19:03

bonjour,
de toutes les façons tu dois  trouver pour quelle valeur de a \sum_0^{+\infty}\frac{a}{n!}=1
c'est immédiat avec la formule rappelée par Schtromphmol

Posté par
markland
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 19:26

ca ne me parait pas immédiat :

on sait que \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k!}} = e^x.
et on doit donc résoudre \sum_0^{+\infty}\frac{a}{n!}=1

on veut donc que k=1 pour avoir a (seul) au numérateur et utiliser la formule, on obtient :
e^a=1
donc, a=0, (ce qui est absurde/faux)

Posté par
verdurin
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 19:38

Pour continuer à pinailler un peu.

Soit X est à valeurs dans N tout entier :  \forall n\in \N\quad$P$(X=n)\neq0 et dans ce cas $P$(X=n)=a/n!.

Soit X est à valeurs dans F=\lbrace n\in\N\ |   \exists k\in\N   n=k!\rbrace} et dans ce cas \forall n\in F   $P$(X=n)=a/n.

Il y a encore la possibilité X est à valeurs dans F et \forall n\in F   $P$(X=n)=a/n!=a/(k!)! mais elle ne me semble pas raisonnable au niveau calcul.

Les deux premières possibilités donnent le même résultat pour a.

Posté par
markland
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 19:56

Est-ce un indice ou revenez vous à l'erreur de l'énoncé, j'ai du mal a distinguer (je pense que vous reparlez de l'erreur..).

Posté par
verdurin
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 20:05

J'étais revenu à l'énoncé.

Pour une indication supplémentaire

\sum_0^{+\infty}\frac{a}{n!}=a\sum_0^{+\infty}\frac{1}{n!}

et il est facile de calculer

\sum_0^{+\infty}\frac{1}{n!}

en utilisant l'indication de Schtromphmol.

Posté par
markland
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 20:57

Oui !

on doit prendre x=1 dans la formule afin de retrouver le membre suivant :
\sum_{0}^{+ inf}{1/n!}

on trouve donc:
a \times e^1 = 1
a=1/e

Posté par
verdurin
re : Probabilités - Variable aléatoire 15-01-18 à 21:02

C'est ça.
Mais je persiste à dire qu'il y a une erreur dans l'énoncé.

Posté par
lafol Moderateur
re : Probabilités - Variable aléatoire 16-01-18 à 11:56

Bonjour
Idem, l'erreur étant vraisemblablement ici (en rouge) :

markland @ 15-01-2018 à 17:34

Bonsoir,

j'ai un QCM avec pour énoncé :

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans l'ensemble {n!, n ) telle que : P (X=n)= a/n!



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