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Probabiltés, densité de deux variables indépendante

Posté par
LyxiZz 19-05-23 à 00:09

Bonjour,
J'ai un exercice de probabilité que je n'arrive pas à résoudre:
Soit λ > 0. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y , suivant toutes les deux une loi exponentielle de paramètre λ :
fX(x) = fY (x) = (λe-λx) si x ⩾ 0 et 0 sinon
Déterminer la densité de la variable U = X + Y .


J'ai appliqué la formule f(x,y) = fX(x) + fY(y)
Ca me donne f(x,y) = λ2e-λ(x+y) si x et y >= 0, 0 sinon
Du coup pour calculer la densité j'applique une deuxième formule:
fX+Y(x) = \int_{0}^{+\infty}f(x-y,y)dy \\
Mais en résolvant l'intégrale j'arrive a une divergence:
\int_{0}^{+\infty}f(x-y,y)dy \\
=\int_{0}^{+\infty}\lambda^2e^{-\lambda(x-y+y)}dy
=\int_{0}^{+\infty}\lambda^2e^{-\lambda(x)}dy
Et la ca diverge, je ne sais pas ou est mon erreur, j'espère avoir été claire
Merci d'avance

Posté par
termina123re : Probabiltés, densité de deux variables indépendante 19-05-23 à 00:46

La première formule c'est un * et la deuxième est fausse

Posté par
GBZMre : Probabiltés, densité de deux variables indépendante 19-05-23 à 09:12

Bonjour,
Tu as effectivement fait une coquille en écrivant une addition au lieu d'un produit, mais tu as fait le calcul correctement.
La deuxième formule n'est pas fausse, c'est juste que tu as oublié que f(x-y,y) est nul si x-y<0, c.-à-d; si y>x.

Posté par
termina123re : Probabiltés, densité de deux variables indépendante 19-05-23 à 11:34

Soient X,Y deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités réspectives f_X et f_Y
La densité de X+Y est donnée par f_{X+Y}(z)=\int{f_X (z-u) f_Y (u) du}
Ah oui ok en relisant ton message je pensais que tu avais écris seulement la densité de X dans l'intégrale alors que c'était la densité jointe désolé

Posté par
LyxiZzre : Probabiltés, densité de deux variables indépendante 19-05-23 à 12:01

Merci beaucoup


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