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Probailité Spé

Posté par
BlackGhost 07-04-25 à 10:51

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à traiter la dernière question de cet exercice :

Soit \left(p_n\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite d'éléments de ] 0,1[tel que la série \sum_{n\ge 0}{} p_n converge. Pour tout n \in \N, on note X_n une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de param\`etre p_n. On pose : \forall n \in \mathbb{N}\::\: S_n = \sum_{k=0}^{n}X_k et S=\sum_{k=0}^{+\infty}X_k.
1: Exprimer l'événement (S\ge m) en fonction des \'ev\'enements (S_n\ge m). En d\'eduire que $S[/tex] est une variable aléatoire.
2: Montrer que S est presque sûrement finie.
3: Montrer que S admet une espérance et la calculer.


Quelqu'un pourrait-il m'aider ? D'avance merci!
BG

Posté par
carpediemre : Probailité Spé 07-04-25 à 13:21

salut

pourrais-tu nous montrer les questions 1/ et 2/ ?

pour tout n : E(S_n) = \sum_0^n E(X_k) = \sum_0^n p_k

et on applique le théorème de convergence monotone ... ou dominée ??

Posté par
BlackGhostre : Probailité Spé 07-04-25 à 13:34

Carpe diem, mon problème est de montrer que la limite de l'espérance de Sn est l'espérance de S, mais je ne dispose pas des théorèmes que tu cites.
B.G

Posté par
carpediemre : Probailité Spé 07-04-25 à 14:37

pour tout n : E(S_n) = \sum_0^n E(X_k) = \sum_0^n p_k \le \sum p_k

une suite croissante et majorée converge ... ??

Posté par
BlackGhostre : Probailité Spé 07-04-25 à 14:39

Pour répondre à Carpe diem :
1: J'ai montré que \left(S\ge m\right) = \underset{n=0}{\overset{+\infty}{\bigcup}} \left(S_n \ge m\right)

2: J'ai appliqué le théorème de continuité monotone, puis la propriété de sous-additivité  en  calculant la probabilité que S soit infini :
(S=\infty)=\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\bigcap}} \left(\underset{k=n}{\overset{+\infty}{\bigcup}} (X_k=1)\right)

Voilà. Si quelqu'un peut m'aider pour la question 3 ....

BG

Posté par
BlackGhostre : Probailité Spé 12-04-25 à 20:44

Bonsoir,
Perso ne pour m'aider ?
BG


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