Bonjour à tous

J'ai un Dm à rendre pour et j'ai des p'tits problèmes (pourtant je suis sure c'est assez simple). Voilà l'énoncé :
exercice 1:
Un laboratoire pharmaceutique a mis au point un test sanguin de dépistage d'une maladie. On sait que la probabilité qu'un individu soit atteind de cette maladie est p. On considère un groupe de n individus testé pour cette maladie. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de tests positifs.

1) Quelle loi suit X? Donner ses paramètres.
J'ai mis, que X suit la loi binomiale car chaque épreuve est répété de manière indépendante et identique et qu'il y a 2 issues possibles: soit le teste est positif (succès) soit le test est négatif (échec)
paramètre : n-> correspond au n individus testé pour cette maladie
p-> correspond a la probabilités qu'un individu soit atteind de cette maladie
Est-ce bon?

2) Quelle est la valeur de p(X1)?
p(X1)=1-p(X=0)=1-(n;0)*p⁰*(1-p)^n-1=1-(n;0)*(1-p)^n-1 Es-ce bien cela?

3) Afin de minimiser le cout des test, le laboratoire fait un 1er test en regroupant les n échantillons de sang prélevés. Si ce test est négatif, alors le labo peut être sur que les n indivdus testés ne sont pas atteints par la maladie. la laboratoire a eu besoin d'un seul test pour connaitre le résultat des n individus. Dans le cas contraire, le abo réalise un test sur chaque échantillon prélevé. Le Labo a alors réalisé en tout n+1 tests. Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de tests réalisés par le labo.
a) Donner les valeurs que peut prendre Y. Y peut prendre les valeur n et n+1 c'est bien ça? ^^

b) Quelle loi sui Y?
Y suit la loi binomiale, car épreuve réalisé dans des conditions identiques et indépendantes et qu'il y a 2 issues: soit les tests sont négatifs, soit positifs. est-ce toujours cela?

c) Démontrer que E(Y)=n+1-n(1-p)ⁿ
La je ne sais pas comment faire. je sais que l'espérance= n*p mais la ça ne m'aide pas ^^

4) Soit Z la variable aléatoire correspondant au nombre de tests réalisés sur un seul échantillon de sang. On admet Z=Y/n
a) Donner les valeurs que peut prendre Z.
Je ne sais pas non plus ^^

b) Quelle loi suit Z?
C'ets aussi une loi binomiale? ^^ dans ce cas je ne vois pas bien ce que peuvent être les deux issues: tests positifs et tests négatifs? ^^

c) Démontrer que E(Z)=1-(1-p)ⁿ+1/n
Je ne sais pas non plus !

5) On admet que p=0.009. Soit (Un) la suite définie sur * par: Un=1-(1-p)ⁿ+1/n

a) Représenter graphiquement les premiers termes de cette suite a l'aide de la calculatrice. (je n'y arrive pas, j'ai une casio si quelqu'un peut m'aider ^^)

b) En déduire la valeur de n pour laquelle Un admet la plus petite valeur.
Bah du coup je l'ai pas faite!

c) En déduire la valeur de n pour laquelle le cout par individu est le moins important. Chaque test coute 10€ au laboratoire. En pratiquant cette méthode, quelle est est l'économie réalisée par le laboratoire (en euros par individus)?


Donc voila, il y a vraiment des choses que je ne comprends pas bien, donc si vous pouviez m'aider ça serait vraiment chouette. Merci d'avance !
(et désolé pour les fautes s'il y en a ^^)