Par des méthodes probablement différentes auxquelles tu es habitué(e)


Proba que 1 individu examiné ne soit pas atteint par la mutation: 1 - 10^-6

Proba que n individus examinés ne soient aucun atteint par la mutation:
  (1 - 10^-6)^n

Proba de trouver au moins 1 individu atteint par la mutation sur n individus
examinés = 1 - proba que les n individus ne soient aucun atteint
par la mutation.

Proba de trouver au moins 1 individu atteint par la mutation sur n individus
examinés = 1 - (1 - 10^-6)^n
-----

Si on veut:
1 - (1 - 10^-6)^n >= 0,95

0,05 >= (1 - 10^-6)^n

log(0,05) >= n.log(1 - 10^-6)

-1,30102999566 >= -4,34294699051.10^-7 .n

-1,30102999566 /-4,34294699051.10^-7 <= n
n >= 2 995 731
-----
Sauf distraction. (ou erreur, je n'aime pas les proba)  

Donc ma méthode était bonne ! J'ai trouvé la même chose à l'application
numérique.
Merci !

Salut à tous,
Tout d'abord, je suis d'accord avec vos résultats, bien que
je ne pense pas que j'aurais été capable de les trouvé seul
. Donc bravo à vous deux .

Maintenant, je vais quand même essayé d'aider, e ce qui cioncerne la seconde
question :

Quelle est la probabilité d'observer au moins 4 mutants
dans une population de 3 millions de personnes ?

Lorsqu'on a "au moins" dans un évènement, il faut utiliser générallement
les événement complémentaires.
Or, l'événement complémentaire de "observer au moins 4 mutants
dans une population de 3 millions de personnes" est "observer juste
3 mutants dans une pop de 3 M de personnes" OU "observer juste
2 mutants dans une pop de 3 M de personnes" OU "observer juste
1 mutant dans une pop de 3 M de personnes" OU "observer aucun mutant
sur une pop de 3 millions de personnes".

Remarquons 2 choses :
  *Les évènement sont incompatibles entre eux, donc il faudra faire
une addition des probas de chacun des évènements (car on a le OU
qui signifie "union")
  **Pour chacun des évènement, on a de nombreux cas possibles. Par
exemple pour le cas où on abserve 1 seul mutant, ce mutant peut aussi
bien être le 1er que le 2eme que le 3eme,..... que le 3 000 000 ème.
Il faudra donc utiliser la formule de dénombrement :

     n! / [(n-p)!*p!)]

On obtient donc finalement le long calcul suivant (je vais le présenter
d'une manière asez bizarre mais qui à mon avis est plus facile
à comprendre) :

[ 3000000! / [(3000000-2999997)!*2999997!] ] * (0,999999^2999997*0,000001³)

+

[ 3000000! / [(3000000-2999998)!*2999998!] ] * (0,999999^2999998*0,000001²)

+

[ 3000000! / [(3000000-2999999)!*2999999!] ] * (0,999999^2999999*0,000001)

+

[ 3000000! / [(3000000-3000000)!*3000000!] ] * (0,999999^3000000)


(La première partie de chaque terme correspond à la formule de dénombrement.
Écrivez-le sur une feuille, vous allez voir, c'est bien plus
simple à comprendre que ce carnage . )



Ce qui donne (lorsque g donné le calcul brut ci-dessus à ma calculatrice
TI-89, elle a  mis overflow, donc faut simplifier ) :

[ 3000000! / [3!*2999997!] ] * (0,999999^2999997*0,000001³)

+

[ 3000000! / [2!*2999998!] ] * (0,999999^2999998*0,000001²)

+

[ 3000000! / [1!*2999999!] ] * (0,999999^2999999*0,000001)

+

[ 3000000! / [0!*3000000!] ] * (0,999999^3000000)



Ce qui donne :



(2999998*2999999*3000000)/6 * (0,999999^2999997*0,000001³)

+

(2999999*3000000)/2 * (0,999999^2999998*0,000001²)

+

(3000000) * (0,999999^2999999*0,000001¹)

+

1 * 0,999999^3000000



Ce qui donne finalement :

0,647232

Or ceci est la probabilité de l'évènement complémentaire de E:
"observer au moins 4 mutants sur une population de 3 000 000 de
personnes". Donc on a finalement :

p(E)=1-0,647232
p(E)=0,352768


Voilà, moi c'est pas que j'aime pas les probabilités (au contraire,
c'est mon chapitre préféré), mais il est très probable (Attention
au jeu de mot à 2 francs ) que mes résultats soient faux.
Donc j'aimerais bien que vous me disiez ce que vous en pensez.

Merci d'avance et À +

Bonsoir,

La formule pour calculer le nombre de combinaisons n! / [(n-p)!*p!)]
est théorique mais peu pratique. Il est préférable d'utiliser
la formule simplifiée :
C(n;p)=n(n-1)...(n-p+1)/p!

On obtient directement les résultats simplifiés :
C(3000000;0)=1
C(3000000;1)=3000000
C(3000000;2)=3000000*2999999/2
C(3000000;3)=3000000*2999999*2999998/6

Sinon, le résultat semble juste

On doit aussi pouvoir utiliser l'approximation par la loi de Poisson
pour simplifier les calculs.

@+