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Probas conditionnelles
Posté par Callystos
Bonsoir à tous,
cette question me pose problème, l'énoncé est assez long mais facile à comprendre :
Albert attend le tram, mais il s'impatiente, il n'a plus le temps de prendre un café, il envisage sérieusement de prendre un taxi. Le temps d'attente du tram peut être de 5, 15 ou 25 minutes et Albert estime qu'il peut le modéliser par une variable aléatoire X discrète de probabilités : P(X = 5) = 0.25, P(X = 15) = 0.5, P(X = 25) = 0.25.
Le temps de passage du prochain taxi libre, devant l'arrêt, est modélisé par une variable aléatoire Y de loi exponentielle de paramètre lambda = 1/6.
Ces deux variables sont indépendantes. Albert veut attendre le moins possible, il prendra le taxi ou le tram, celui qui passera le premier à l'arrêt. Son temps d'attente est alors T=min(X,Y).
Quelle est la probabilité qu'Albert prenne le taxi, sachant qu'il attend depuis 10 minutes déjà ?
J'ai déjà trouvé la proba qu'il attende plus de 10 min : P(X >=10 et Y >= 10) = (1 - P(X < 10))*(1-P(Y < 10)).
Ensuite il me faudrait P(X>=Y et X>=10 et Y>=10) pour pouvoir appliquer la formule des probas conditionnelles.
J'espère que vous pourrez m'aider.
J'ai souvent l'impression que les élèves veulent réciter leur leçon sur les probas conditionnelles... alors que 9 fois sur 10, ça ne sert à rien.
Imagine que tu n'as jamais entendu parler de ces probas conditionnelles. Et vas-y, fais l'exercice.
Merci pour votre réponse mais je ne vois pas vraiment comment faire sans.
Je pense à calculer P(X >= Y) avec X >= 10 et Y >= 10 ? Ce qui vaudrait alors P(Y<=15)P(X=15) + P(Y<=25)P(X=25) ?
bonjour,
Une idée, représenter les fonctions de répartition de X et de Y, pour comparer selon t, P(X<t) et P(Y<t)
On va fixer les choses en disant que l'expérience commence à 16heures.
Et on va analyser le Tram uniquement. Ensuite, on analysera le taxi ... puis on fera la synthèse de tout ça.
Il est 16 heures. Albert sait que le tram peut arriver dans 5mn, 15mn, ou 25mn avec les probas ....
Albert attend. Il est maintenant 16h10... Albert attend depuis 10minutes.
Quelle est la loi de proba pour le tram ?
Quelle est la loi de proba pour le Taxi ?
Quelle est la proba que Albert prenne le Taxi ?
En fait, Je pense que l'énoncé est un peu ambigu.
Cette phrase est un peu ambiguë : Le temps de passage du prochain taxi libre, devant l'arrêt, est modélisé par une variable aléatoire Y de loi exponentielle de paramètre lambda = 1/6.
Bon ... on peut certainement trouver un consensus sur l'interprétation de cette phrase.
Dans ton premier message, tu parles de la proba qu'il attende plus de 10 minutes : Cette proba est de 100%
A 16heures, au début de l'expérience, certes, on peut se poser la question : quelle est la proba que Albert ait trouvé un moyen de transport avant 16h10.
Mais voilà, il est 16h10. Et on constate avec nos yeux que Albert est toujours là.
salut
pour t'aider à demarrer si T= min(X,Y)
P(T
t)=P(Min(X,Y)t)=1-P(Min(X,Y)
t)=1-P(Xt 
Yt) ...à présent à toi
je reviens sur mon idée.
La probabilité que Albert prenne le taxi, c'est la probabilité que le taxi arrive avant le tram.
c'et à dire qu'il faut déterminer la date t0 à partir de laquelle
or
et on a toujours pour t réel
En conclusion je dirais que la probabilité que Albert prenne le taxi est très faible, soit moins de 2%
Il est 16h10.
Albert attend déjà depuis 10 minutes et toujours pas de Tram, ni de Taxi.
Quelle est la loi de proba pour le tram ?
Le tram arrive soit dans 5mn (proba = 2/3), soit dans 15mn (proba=1/3)
Quelle est la loi de proba pour le taxi ? J'ai un très léger doute, mais il me semble me souvenir qu'une loi géométrique, c'est aussi ce qu'on appelle une loi 'sans vieillissement'.
Ici, le paramètre lambda est ambigu. 1/6. Suivant qu'on mesure le temps en minutes, en heures, en secondes, ça nous donne des résultats très différents. On va considérer qu'on compte en minutes.
Donc, Albert prendra le taxi dans les 2 cas suivants :
1. Si le taxi arrive dans les 5 minutes : proba = 0.565
2. Si le taxi arrive dans les 15 minutes mais pas dans les 5 minutes, et si le tram n'arrive pas dans 5 minutes proba = (0.918-0.565)*1/3