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Probas continues exercice sur la médiane
Posté par MatheuxAnonym
Bonjour à toutes/tous,
Voici ci-dessous un exercice que je n'arrive pas complètement, ce serait très gentil de votre part de m'aider. Merci d'avance ! 
Soit X une variable aléatoire réelle (noter qu'on ne demande pas d'hypothèse
d'intégrabilité). On dit que m est une médiane de X si
P(X < m) ≤ 1/2 ≤ P(X ≤ m).
1. On pose
m0 := inf{t ∈ R, P(X ≤ t) ≥ 1/2}, m1 := sup{t ∈ R, P(X < t) ≤ 1/2}
Montrer que m0 et m1 sont bien définis, et qu'il s'agit de médianes de X.
2. Montrer que l'intervalle [m0, m1] est l'ensemble des médianes de X.
3. Soit X la loi uniforme (discrète) sur l'ensemble {x1, . . . , xn}, avec x1 < x2 < . . . < xn.
Déterminer l'ensemble des médianes de X en fonction notamment de la parité de n
(Indication : regarder ce qui se passe pour n = 1, 2, 3, 4).
Pour la Q1, j'ai dit que {t ∈ R, P(X ≤ t) ≥ 1/2} était non vide et minoré donc admet un inf, et {t ∈ R, P(X < t) ≤ 1/2} est non vide et majoré donc admet un sup, ainsi m0 et m1 bien définis.
Par contre, je n'arrive pas à montrer que m0 et m1 sont des médianes de X
Pour la Q2, pas de soucis je l'ai faite
Pour la Q3, j'ai intuité le résultat en essayant avec n = 1,2,3,4....
j'ai trouvé que :
si n impair, alors une seule médiane qui est x indice (n+1)/2
Si n pair, 2 médianes qui sont x indice n/2 et x indice (n/2) + 1
Voici mes traces de recherches actuelles, je bloque essentiellement sur le fait de prouver que m0 et m1 sont des médianes, et prouver le résultat que j'ai trouvé dans la Q3.
Merci beaucoup !
Bonjour,
en effet, avec ta définition il n'est pas toujours vrai que m0 et m1 sont des médianes.
Il faudrait la rectifier en P(X < m) ≤ 1/2 ≤ P(X < m).
Sauf erreur de ma part.
Dans l'énoncé il y a pourtant bel et bien marqué P(X < m) ≤ 1/2 ≤ P(X ≤ m) et a priori il me semble que la définition est correcte
De plus, en me baladant sur internet j'ai déjà vu la médiane définie de cette façon donc ça doit probablement être correct, et dans cet exercice ils attendent qu'on le prouve en utilisant cette formule (le problème étant que je n'y arrive pas pour le moment)
Je ne comprends pas l'objectif de cet exemple ni le lien par rapport à l'exercice que j'ai énoncé ci dessus
Désolé d?avance du double post
D?ailleurs rien que sur wikipedia, on retrouve la définition de l?énoncé dans la section « mediane dans les distributions de probabilités » sur ce lien 
***Raccourci url ajouté***
Tu as raison : j'ai écris des bêtises et l'exemple que je donne n'est pas une fonction de répartition car ce n'est pas une fonction continue à droite.
C'est d'ailleurs la continuité à droite qui permet de dire que m0 est une médiane.
En effet l'ensemble des t tels que P(X
t)
1/2 est fermé et donc contient sa borne inférieure on a donc P(Xm0)1/2
Oui je vois comment continuer après si m0 appartient en effet à l'ensemble ! Cependant, comment montrer rigoureusement que c'est un fermé ?
Et pour m1, comment faire ? Parce qu'il n'est pas acquis que m1 appartienne à l'ensemble comme il n'y a pas le phénomène de continuité à droite dans ce cas
La fonction de répartition F est continue à droite en m0 comme partout.
Si une suite (an) tend vers m0 en restant supérieure à m0 on a, par continuité,
Or donc
.
On fait un raisonnement un peu du même genre pour m1, je te le laisse chercher.
Pour m1, si une suite (an) tend vers m1 en restant inférieure à m1, on a par continuité, F(an-) = F(m1-).
Or, pour tout n entier naturel, F(an-) ≤ 1/2 donc F(an-) ≤ 1/2 d'où F(m1-) ≤ 1/2 donc m1 appartient à l'ensemble et en est le maximum.
Ensuite, si pour le cas F(m1) , il n'est pas dans l'ensemble dont m1 est le max donc F(m1) > 1/2 donc >= 1/2 et on a ce qu'on veut
C'est ca ?
Ton raisonnement me semble confus.
J'ai l'impression que tu veux distinguer deux cas, ce qui est une méthode possible.
Mais il faudrait que ces deux cas soient clairement donnés.
J'ai mal écrit mon message, y a un "si" en trop avant "pour le cas F(m1)" désolé
Je ne fais pas de disjonction de cas
Disons que je suis d'accord pour ce qui précède "si pour le cas F(m1)" et que la suite me semble douteuse.
Par exemple on peut très bien avoir F(m1)=1/2.
C'est le cas si on prend une distribution uniforme sur {1 ; 2 ; 3 ; 4} où on a m1=2.
C'est aussi le cas si X a une densité et on a alors m1=m0.
Je pensais que ça marchait mais je comprends votre argument !
Dans ce cas, je suis bloqué je ne sais pas comment m'y prendre, en sachant que m1 est le max de l'ensemble (je ne sais pas comment faire apparaître autrement le ≥ 1/2)
Je crois que je devrais apprendre à lire. 
Il y a bien une erreur dans ton énoncé, et elle est dans la définition de m1.
Pour reprendre l'exemple de la distribution uniforme sur {1 ; 2 ; 3 ; 4} il est clair que toutes les valeurs dans l'intervalle [2 ; 3] sont des médianes.
On veut donc avoir m1=2.
Mais si t
[2 ; 3] on a P(X<t)=1/2 et donc m1=3.
Je crois que l'on devrais définir m1 par
m1 := sup{t ∈ R | P(X < t) < 1/2}
Avec cette définition on a bien P(Xm1)1/2.
J'espère que je ne me suis pas encore trompé, et que tu voudras bien accepter mes excuses.
Bonjour à vous deux,
@MatheuxAnonym : le multi-compte est strictement interdit sur le forum 
:
Merci donc de régulariser ta situation en supprimant tes comptes Alfred3Paris et Anonymousss (la fonction mot de passe oublié existe).
Une fois que c'est fait, contacte malou (
[lien]) ou moi ( [lien]) et on lèvera ton exclusion sur ton compte actuel. Dans votre exemple, avec la distribution uniforme discrète, les médianes ne sont pas les éléments de [2 ; 3] mais plutôt les éléments de {2 ; 3}.
m1 étant le sup de l'ensemble des t vérifiant P(X < t)≤1/2, ici m1 = 3.
Cependant, si t = 2, P(X < 2) = P(X = 1) = 1/4 et non pas 1/2 comme vous avez dit
En revanche, si on utilisait votre définition qui est P(X < t) < 1/2, alors on aurait que 2 est une médiane mais que 3 n'en est pas une (car P(X < 3) = 1/2), c'est impossible car les médianes sont {2, 3}
Il n'y a pas d'erreur d'énoncé à mon humble avis !
Citation :
On dit que m est une médiane de X si P(X < m) ≤ 1/2 ≤ P(X ≤ m).
.
On dit que m est une médiane de X si P(X < m) ≤ 1/2 ≤ P(X ≤ m).
On considère la variable aléatoire X uniforme sur {1 ; 2 ; 3 ; 4}.
On a P(X<2)=1/4 et P(X
2)=1/2 donc 2 est une médiane.
On a P(X<2,5)=1/2 et P(X
2,5)=1/2 donc 2,5 est une médiane.
On a P(X<3)=1/2 et P(X
3)=3/4 donc 3 est une médiane.
Il est facile de vérifier que si m
[2 ; 3] alors m est une médiane de X.
Le problème demande de démontrer que l'ensemble des médianes est [m1 ; m0].
On doit donc avoir, dans ce cas particulier, m1=2 et m0=3.
Si la définition de m0 donne bien m0=3 la définition de m1 dans ton énoncé donne aussi m1=3.
En effet si t
[2 ; 3[ on a bien P(X<t)=1/21/2 et donc t{tR, P(X<t)1/2}
Ce qui n'est manifestement pas le résultat attendu.
Ce que je pense devoir corriger est la définition de m1, pas celle de la médiane.
Mais le point important de la question selon moi à propos de m1, c'est de montrer que m1 est le max de l'ensemble (donc qu'on a P(X < m1) <= 1/2), ça c'est bon comme montré en haut avec les suites qu'on a construites
Il faudrait dans l'idéal montrer que sachant que m1 est le max, en déduire que P(X <= m1) > 1/2 et donc >= 1/2
Est ce que dire que :
P(X <= m1) = P(X < m1) + P(X = m1)
Or, P(X < m1) <= 1/2 et P(X = m1) > 1/2 (ici il faut justifier proprement que P(X = m1) > 1/2, j'ai l'idée mais j'arrive pas à la formuler)
DONC P(X <= m1) > 1/2
Donc P(X <= m1) >= 1/2
Vous semble correct ? Le seul point à affiner serait la justification de ce que j'ai précisé en parenthèse que je n'arrive pas à justifier proprement
Bonsoir,
il est impossible de démontrer que P(Xm1)>1/2 parce que ce n'est pas toujours vrai.
Pour prendre un exemple :
si X suit une loi normale centrée réduite
m1=sup({tR | P(X<t)1/2})=0
et P(X<0)=P(X0)=1/2.
Ceci étant dit j'ai encore écrit des bêtises dans mon message précédent.
Pour la loi uniforme sur { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } on a m0=2 et m1=3.
Et l'ensemble des médianes est bien [ m0 ; m1 ].