Bonjour !

J'ai un exercice à faire pour la rentrée et je bloque complètement à une question, je vous recopie l'énoncé et ensuite je vous dirai quels sont mes résultats et les points où un coup de main ne serait pas de refus.


Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher, dont deux verts et trois blancs. On effectue des tirages successifs de jetons de la façon suivante :
- si l'on obtient un jeton blanc, ce jeton est remis dans l'urne avant de procéder au tirage suivant ;
- si l'on obtient un jeton vert, ce jeton est remplacé dans l'urne par un jeton blanc, avant que l'on ne procède au tirage suivant ;
- lorsque les deux jetons verts ont étés tirés, on s'arrête.

On appellera phase la double opération qui consiste à tirer un jeton puis à le remettre ou à le remplacer dans l'urne. Le but de l'exercice est de décrire l'état de l'urne après une succession de phase.

1. On étudie les résultats possibles de deux tirages consécutifs. Il sera commode de désigner un tel résultat par un mot formé à l'aide des deux lettres B et V : par exemple BV indiquera que l'on à tiré d'abord un jeton blanc puis un jeton vert, VB que l'on à tiré un jeton vert puis un jeton blanc.
Décrire l'ensemble des résultats possibles, en indiquant la probabilité de chacun d'eux.

2. On effectue une succession de n tirages. (n désignant un entier supérieur ou égal a 1) et on considère les évènements suivants :
D_n : « A la fin de la n-ième phase l'urne contient deux jetons verts ».
U_n : « A la fin de la n-ième phase l'urne contient un jeton vert ».
On note dn la probabilité de l'évènement D_n, un la probabilité de l'évènement U_n.
a. Utilisez 1. Pour calculer d1, u1, d2 et u2
b. Exprimer en fonction de n la probabilité dn de D_n
c montrer que pour tout entier naturel n1, on a : u_n+1=2/5dn+4/5un

3.a. On considère la suite (un)n 1 définie par :
un= un+2(3/5)^n

Montrer que l'on a : v1 = 8/5

Et que, pour n1 : vn+1=4/5 vn

b. en déduire vn, puis un, en fonction de n

(désolé si je n'ai pas utilisé Latex mais je ne comprends pas très bien comment il fonctionne, et le tutoriel m'est apparu complexe)

Alors j'ai répondu aux questions 1, 2a et 2b et je bloque totalement sur la 2c, j'ai malgré tout essayé de répondre aux questions 3a et b mais je ne les comprends pas.

Mes résultats :
1 : résultats possibles :
-BB probabilité : 9/25
-BV probabilité : 6/25
-VB probabilité : 8/25
-VV probabilité : 2/25

2a :
d1 = 3/5 (à la fin de la première phase, il reste deux jetons verts, donc on a tiré un blanc)
u1 = 2/5 (à la fin de la première phase, il reste un jeton vert, donc on a tiré un vert)
d2 = 9/25 (à la fin de la deuxième phase, il reste deux jetons verts, donc on a tiré deux blanc)
u2 = 6/25 (à la fin de la deuxième phase, il reste un jeton vert, donc on a tiré un blanc puis un vert)

2b :
dn = (3/5)^n

Et donc après je coince totalement...

En espérant que vous allez me sortir de ce mauvais pas, je vous remercie d'avance :)