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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Probas/génétique

Posté par
gregs389
26-05-18 à 17:43

Bonjour, je traite actuellement ce problème lié à la relation d'Hardy :

Chaque individu reçoit au hasard un gène de chacun des génotypes de ses parents, chacun des gènes de ces génotypes ayant la probabilité 1/2 de passer à l'enfant. Par exemple, deux parents Aa donneront à leur enfant le génotype AA avec probabilité 1/4, Aa avec probabilité 1/2 et aa avec probabilité 1/4.

Les génotypes des parents de la génération 0 sont supposés indépendants. La probabilité qu'un parent de la génération 0 ait AA (respectivement Aa, respectivement aa) comme génotype est notée u (resp. 2v, resp. w), donc u + 2v + w = 1 et (u, 2v, w) est appelé la fréquence des génotypes.

On note p = u + v et q = v + w la fréquence des allèles A et a.

1. Montrer qu'un individu de la première génération appartient à l'un des génotypes AA, Aa, aa avec les probabilités respectives u1 = p2, 2v1 = 2pq et w1 = q2.

2. Pour que les fréquences ne changent pas au cours des générations (i.e. pour que u1 = u, v1 = v et w1 = w), montrer que la loi de probabilité des génotypes doit vérifiers la relation de Hardy- Weinberg : v2 = uw.

3. On considère dans les questions suivantes que u = p2, 2v = 2pq et w = q2. Calculer la probabilité que le génotype d'un individu de la première génération soit Aa sachant que son frère a le même génotype.

J'ai résolu la première question en étudiant les différents cas possibles et la seconde par un raisonnement d'équivalence.

Cependant, pour la 3ème je ne vois pas comment interpréter la condition  : sachant que son frère a le même génotype. Cela  peut certes jouer sur les parents mais il me semble que le nombre de cas reste le même.

Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 18:47

Bonsoir,
il s'agit de probabilité conditionnelle.

On considère les parents ayant deux descendants connus.
La probabilité pour que ces deux individus aient le même génotype est :

u^2+2uw+v^2+2uv+\frac32 v^2 + vw.

Ce que l'on trouve en étudiant les six cas possibles.

Il reste à calculer la probabilité que ce génome soit Aa et a diviser par le résultat précédent.

Remarque : j'ai négligé de le fait que l'un des individu est mâle.
Si le sexe intervient dans la répartition des génomes ça devient plus compliqué.
Et surtout infaisable sans renseignements supplémentaires.

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 18:50

Faute de frappe.

Lire
u^2+2uw+v^2+2uv+\frac32 v^2 + {\color{red}2}vw.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 26-05-18 à 18:56

Merci de ta réponse,

Comme l'intersection est celle d'avoir le génome Aa pour l'enfant en question et que les deux enfants aient le même génotype, il faut réévaluer les cas possibles en partant de deux enfants  ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 19:06

Oui.

Par exemple si les parents sont tous les deux AA (proba u2 )ou tous les deux aa (proba w2 ) les descendants auront tous le même génotype, mais ce ne sera pas Aa.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 26-05-18 à 19:30

Donc, finalement on se restreint aux cas où l'on est sûr qu'ils aient le même génotype ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 20:03

Non.
Si les parents sont ( AA , AA) les descendants sont tous AA.
Si les parents sont ( aa , aa) les descendants sont tous aa.
Si les parents sont  ( AA , aa) les descendants sont tous Aa.

Si les parents sont ( AA , Aa) les descendants sont AA avec une proba 1/2 et Aa avec une proba 1/2.
Dans ce cas les deux descendants on le même génotype avec une proba 1/4+1/4=1/2.

Si les parents sont ( Aa , Aa) les descendants sont AA avec une proba 1/4, Aa avec une proba 1/2 et aa avec une proba 1/4.
Dans ce cas les deux descendants on le même génotype avec une proba 1/16+1/4+1/16=3/8.

Je te laisse traiter le cas de parents (Aa , aa).

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 26-05-18 à 21:46

J'ai traité le dernier cas, il me reste alors à calculer une des probabilités d'avoir Aa, de la multiplier par la probabilité d'avoir deux descendants de même génotype et enfin à additionner avec les autres ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 22:00

On te demande P(M|N) avec M : « l'individu observé est Aa » et N : « l'individu a le même génotype que son frère ( ou sa sœur ) ».

Il faut donc calculer \dfrac{\text{P}(M\cap N)}{\text{P}(N)}

M\cap N se traduit par : « les deux descendants observés sont Aa »
et N par : « les deux descendants observés ont le même génotype »

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 26-05-18 à 22:09

Ce que je veux dire, c'est que, pour calculer l'intersection, je calcule les probabilités d'avoir 2 descendants Aa en utilisant le travail précédent puis je les additionne ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 22:14

Oui.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 26-05-18 à 22:15

ça marche, merci beaucoup.

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 26-05-18 à 22:19

Service

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 31-05-18 à 12:51

Bonjour,

J'ai essayé d'aller plus loin dans l'exercice et j'arrive à cette question :

Calculer pour i et j dans G = {AA, Aa, aa}, la probabilité pi,j que le génotype d'un enfant soit j sachant que le génotype de son père est i. On note P la matrice associée, indexée par G × G.

C'est donc à nouveau une probabilité conditionnelle.

Faut-il calculer le résultat pour chaque valeur de i et j et remplir la matrice ou essayer de généraliser pour tous les résultats en fonction de i et j ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 31-05-18 à 15:45

Je n'ai pas fait le calcul, il y a deux résultats évidents, mais je pense qu'il faut faire le calcul pour chaque cas.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 31-05-18 à 15:54

Oui, les cas où soit i = AA et j = aa soit i = aa et j = AA sont tout deux de probabilité 0.
Je vais essayer de remplir la matrice.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 31-05-18 à 16:34

Pour le cas i =AA et j = AA voici ce que je trouve par exemple :

\frac{u^{2}+2uv}{u^2+2uw+4uv}

-pour la probabilité que le père soit AA j'ai regardé toutes les probas où on pouvait avoir AA en comptant la mère à côté
-pour celle de l'intersection j'ai restreint aux cas où l'enfant était AA avec un père AA

est-ce la bonne manière de procéder ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 31-05-18 à 19:05

Si i=AA on sait que le père est AA.

La mère peut-être :
        AA avec la probabilité u dans ce cas l'enfant est AA
        Aa avec la probabilité 2v dans ce cas l'enfant est AA avec la probabilité \frac12 ou Aa avec la probabilité \frac12
        aa avec la probabilité w dans ce cas l'enfant est Aa.

En rassemblant ces trois cas on a la première ligne de la matrice :
      p_{AA,AA}=u+v\qquad p_{AA,Aa}=v+w\qquad p_{AA,aa}=0

Et, bien entendu on a p_{AA,AA}+p_{AA,Aa}+p_{AA,aa}=u+2v+w=1

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 31-05-18 à 22:13

J'ai utilisé ce raisonnement et voici ce que j'obtiens :

\begin{pmatrix} u+v &v+w &0 \\ \frac{u+v+w}{2} &v+\frac{u+w}{2} &\frac{v+w}{2} \\ 0&u+v &v+w \end{pmatrix}

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 31-05-18 à 22:35

Je ne suis pas d'accord avec la deuxième ligne.
Il est clair que sa somme n'est pas 1.

Une remarque : v+\frac{u+w}{2}=\frac12

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 31-05-18 à 23:25

Je vois mon erreur en position 2,2 il n'y a pas de w/2.

La remarque sert peut-être d'ailleurs pour la question suivante qui est :

Montrer que la probabilité que le génotype d'un individu de la seconde génération soit j sachant que le génotype de son grand-père paternel est i est donnée par

p_{ij} = \sum_{k dans G}^{}{p_{ik}p_{kj}}

il faudrait se baser sur le raisonnement précédent et multiplier par les probas qui viennent de la dernière génération ? puis on tomberait à nouveau sur les coefficient de la somme ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 31-05-18 à 23:44

Disons qu'un simple raisonnement par vraisemblance montre que p_{Aa,AA} est une fonction décroissante de w.
Et que, par conséquence, tex]p_{Aa,AA}=\frac{u+v+w}2[/tex] est certainement faux.

Sinon ce que tu écrivis en (2;2) me semble juste.
Mais, personnellement, j'aurais écrit 1/2.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 31-05-18 à 23:50

Le 1/2 sera probablement utile dans la dernière question où il est demandé de calculer la matrice à la puissance n

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 01-06-18 à 00:19

Du coup j'arrive à retrouver le résultat de la formule précédente sur un exemple en raisonnant à partir du dernier cas. Cela suffit à prouver que c'est vrai pour tous les cas ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 01-06-18 à 00:37

Ce que tu écris n'a pas de sens.

La matrice demandée :

\begin{pmatrix}u+v&v+w&0\\\frac12(u+v)&\frac12&\frac12(v+w)\\0&u+v&v+w\end{pmatrix}

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 01-06-18 à 01:19

Je parlais par rapport à la dernière question que j'ai cité, où il s'agit de faire faire le lien entre génotype du grand-père et celui de la seconde génération.

La matrice j'ai bien compris qu'il s'agissait de celle-ci.

J'ai du mal à m'exprimer car je ne suis pas très pointu en raisonnement probabiliste mais j'ai envie de progresser

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 01-06-18 à 01:20

de faire*

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 02-06-18 à 18:54

Bonsoir,
il s'agit de démontrer que la matrice de probabilité pour les descendants un grand-père ( ou une grand-mère, je ne vois pas pourquoi préciser le sexe ) est égale au carré de la matrice qui fait passer d'un parent à un enfant.

C'est pratiquement évident.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 02-06-18 à 22:45

Bonsoir,

ça je le vois. Pour y arriver, il faut calculer les coefficients de la seconde matrice. Cela fonctionne bien pour le cas n=2.

Mais, pour le cas général une récurrence nous permettrait de faire cela en regardant simplement le passage du rang n au rang n+1 en conjecturant l'expression de la matrice au rang n ?

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 02-06-18 à 23:23

Je n'ai pas fait le calcul.
Mais je crois que la matrice est diagonalisable.
Ce qui permettrais de calculer ses puissances n-ièmes à faible coût.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 02:57

Merci, je pense avoir tout compris.

Simplement, j'ai refait la question 3. et voici mon raisonnement :

-L'événement "son frère a le même génotype" se traduit par l'union de 3 événements :

"il est AA" U "il est Aa" U "il est aa" or ces événements sont incompatibles puisqu'un individu ne peut pas être à la fois AA et Aa par exemple.

On en déduit que la probabilité que son frère ait le même génotype que lui correspond à

(p+q)^{2}

-Par suite, il est évident que l'événement ("l'individu est Aa" ET "son frère a le même génotype") correspond à l'événement "l'individu est Aa" d'où sa probabilité :

pq

-Pour conclure,

P("individu est Aa" sachant que "son frère a le même génotype") = \frac{2pq}{(p+q)^{2}}


Cela est-il correct ? J'ai essayé de réfléchir simplement avec les événements pour faire les choses plus simplement

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 02:58

*2pq au second tiret

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 04-06-18 à 19:44

Hum . . .
Par définition \color{red} p+q=1 et donc (p+q)^2=1.

Ce n'est certainement pas la probabilité pour que deux enfants d'un même couple aient le même génotype.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 19:55

Certes mais, puisque 2pq < (p+q)^2, on obtient forcément un nombre inférieur à 1.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 19:58

Ce qui prouverait que le génotype d'un frère n'a pas d'influence sur le choix du génotype de son frère. Ce qui serait logique finalement, quant on y réfléchit

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 04-06-18 à 20:03

Alors pourquoi ne pas répondre \dfrac{\sqrt7}\pi

C'est aussi un nombre entre 0 et 1.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 20:05

Car 2pq = 2v1 d'où l'indépendance, je suppose

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 04-06-18 à 20:08

gregs389 @ 04-06-2018 à 19:58

Ce qui prouverait que le génotype d'un frère n'a pas d'influence sur le choix du génotype de son frère. Ce qui serait logique finalement, quant on y réfléchit

Non
Deux frères ont les mêmes parents

Si tu as, par exemple, un descendant aa, il est plus probable que son frère soit aussi aa plutôt que AA.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 20:17

Mais si on réfléchit, qu'ils aient les mêmes parents ou non, une fois qu'un enfant est né, le calcul repart à zéro pour le second.

Pourquoi le génotype d'un enfant aurait une influence sur celui d'un autre enfant des mêmes parents ?

Après certes, selon les parents, le génotype sera différent et plus ou moins probable mais sur deux parents identiques, le premier enfant aura autant de chances d'être Aa par exemple que le second

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 04-06-18 à 20:27

Ben disons que les parents sont tous les deux aa.
Tous leurs enfants seront aa.

Un autre cas.
Si les deux parents sont Aa la probabilité que  leurs deux enfants soient aa est 1/16

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 20:31

Oui si on a une chance sur 4 pour un enfant on en aura 1 sur 16 d'avoir les deux du même  génotype mais pourquoi ne dépend t'elle pas de u,2v et w ?

Enfaite, l'énoncé demande d'avoir 2 enfants à la suite du même génotype par exemple ? C'est le sachant qui y est en peu gênant quant on interprète les choses

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 04-06-18 à 21:38

Ce que demande l'énoncé, si tu l'as copié correctement :

Citation :
3. On considère dans les questions suivantes que u = p2, 2v = 2pq et w = q2. Calculer la probabilité que le génotype d'un individu de la première génération soit Aa sachant que son frère a le même génotype.


Posons C l'événement « les deux descendants d'un couple ont le même génotype » et D l'événement « les deux descendants d'un couple ont le génotype Aa ».

On demande \text{P}(D|C)=\dfrac{\text{P}(D\cap C)}{\text{P}(C)} par définition.
Il est immédiat que D\cap C=D.

Il faut donc calculer \text{P}(C) et \text{P}(D).

Le calcul de \text{P}(D) :
       si les parents sont tous les deux AA ou aa ( proba u2+w2 ) les descendants ne seront pas Aa.
       si les parents sont AA et aa ( proba 2uw ) tous les descendants seront Aa.
       si les deux parents sont Aa ( proba 4v2 ) les deux descendants seront Aa avec une proba 1/4.
       je te laisse les deux derniers cas.

On fini par obtenir tex]\text{P}(D)[/tex].

Il reste à calculer \text{P}(C) par la même méthode.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 22:42

En somme, proba des deux parents multipliée par celle d'un enfant au carré ?

Merci beaucoup en tout cas, cet exercice m'a éclairé sur pas mal de points. Je l'ai vraiment fait a titre d'entraînement et pour ma culture car il peut être posé sous plusieurs formes. ça pourra se révéler utile un jour sûrement.

Posté par
verdurin
re : Probas/génétique 04-06-18 à 23:14

Citation :
En somme, proba des deux parents multipliée par celle d'un enfant au carré ?

Dans ce cas, oui.

Mais, pour progresser, il vaut mieux penser que d'essayer de deviner des formules.

Et c'est un avis provenant de mon expérience.

Posté par
gregs389
re : Probas/génétique 04-06-18 à 23:48

Je pense que c'est un bon avis. Je vais essayer de raisonner à l'avenir en posant bien les événements puis en réfléchissant a leur probabilité.

Bonne soirée.



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