Bonjour,
Bon ,jusque là je peux suivre.

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Les arrangements des 4 lettres sont 24
les lectures horizontales et verticales sont 8
Donc MATH  peut se lire 1/3 fois

bizarre ça ty59847...  tu refais mon sujet de détente  ? :)

Flight,
Oui, je dois avoué que tu m'as totalement inspiré cette idée.

Dpi,
Je ne pense pas que ce soit bon.
On va reformuler la question :
Q1: Quelle est la probabilité que le mot MATH n'apparaisse pas du tout dans la grille ?
Q2 : Quelle est la probabilité que le  mot MATH apparaisse au moins 2 fois ?
Q3 : Quelle est la probabilité que le  mot MATH apparaisse au moins 1 fois ?

Bonjour,

dpi a donné l'espérance du nombre d'apparition du mot MATH dans la grille. Mais ce mot peut apparaître deux fois.

salut, ty59847  

des précisions sur l'énoncé : est ce bien les 4 lettres du mot  MATH qu'on place dans la grille 4x4 , chaque lettre étant présente une fois dans la grille ou est ce que tu veux dire remplir la grille c'est à dire toutes les cases en utilisant les lettres disponibles du mot MATH ?

L'énoncé me semble clair :

(je dirais que c'est plus le second cas sinon ce serait tout à fait facile )

ca l'est peut etre pour toi GBZM , pas forcement pour tout le monde !

si je comprend bien un peu comme ceci :

T H M A
H A T M
M T H A
A H M T

erreur plutot comme ceci :

T  M  A  H
H  A  T  M
M  T  H  A
A  H  M  T

La grille doit être remplie.  On dispose bien 16 lettres sur une grille 4x4.
Je me suis inspiré de ton jeu, mais je ne l'ai pas copié tel quel ! Et GBZM a bien mis en rouge les mots importants.

Ta proposition de 15h19 est presque conforme, sauf qu'on a 2 fois la lettre H en 2ème colonne et d'autres doublons.
Ta proposition de 15h21 est conforme.

Normalement il s'agit d'un carré magique cher à mijo
Par définition chaque lettre n'est présente qu'une fois dans chaque ligne et chaque colonne. (on oublie les diagonales)

On peut avoir des dispositions doubles du mot MATH

exemples

   M  A  T   H          OU      A M H T
   A   M  H  T                        M A T H
   T  H  M   A                        H T A M
    H T   A   M                       T  H M A

Si le mot MATH  a 1 chance sur 3 d'apparaitre  donc 2chances sur 3 d'être absent ,il y a 4 fois moins de chance  qu'il apparaisse deux fois; soit 1 chance sur  12.

je propose une solution sans trop de certitudes
si le mot MATH figure dans la premiere ligne alors pour les  3 autres lignes restantes il faudra piocher dans les "dérangements" du mot MATH ,c'est à dire dans la liste

ATHM
AMTH   1 ier groupe
AHMT

HTMA
HTAM  2 ieme groupe
HMAT

THAM
THMA  3 ieme groupe
TMHA

je remplit donc les 3 autres lignes de ma grille en faisant un choix de "mot" par groupe , soit ici  C(3,1)*C(3,1)*C(3,1) choix * 3! dispositions possibles pour placer ces mots sur les 3 lignes restantes )soit 3*3*3*3! = 162 façons et autant de fois qu'on peut déplacer le mot MATH sur les 4 lignes  soit donc  
4*162 = 648 cas favorables .  je ne pense pas réitérer ce raisonnement sur les colonnes au risque de compter plusieurs fois le meme cas favorable.

...à verifier ...

pour les cas possibles il faudra placer les lettres  MMMM  AAAA
TTTT  HHHH dans cette grille de  C(16,4)*C(12,4)*C(8,4)*C(4,4) facons

C(16,4)*C(12,4)*C(8,4)*C(4,4)
Je ne sais pas comment tu arrives à ça, mais ça paraît beaucoup.

en effet ty52847 j'ai oublié la contrainte de depart : Sur chaque ligne et sur chaque colonne, chaque lettre apparaît une fois et une seule.

je reprend , en cas possibles   : 3³*3!*4*4!=15552
en cas favorables :  648 cas   et donc P = 1/24 = 0,041    

Je ne suis pas d'accord avec le 648 au numérateur, ni avec le 15552 au dénominateur, ni avec le 0.0441 au final.

Quand tu écris 3³*3!*4*4!, je n'ai pas la moindre idée de pourquoi chaque multiplicateur.

On peut peut-être travailler avec les chiffres 1,2,3,4

On confirme qu'il y a 24 combinaisons et 8 places sur la grille.
donc 1 chance sur 3   pour 1234 par exemple. On doit avoir un 2
sous le 1 ,cela doit être plus facile à modéliser...

Une fois obtenu 1234 par exemple en ligne 1 pour avoir obtenir un carré contenant un second 1234 par exemple en colonne a.
Il faut  un 2 en 1a  puis les triplets jaunes  suivants:
Je laisse faire les probas aux spécialistes

Bonjour,

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Bonjour,
ce que je trouve :

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La proba d'avoir le mot en ligne est 1/6.
En effet on a un et un seul M sur la première colonne par hypothèse. Et il est suivie par une permutation des lettres A, T et H, il y a 6 possibilités dont une seule convient.

La proba d'avoir le mot MATH en colonne est évidement la même.

La proba d'avoir le mot en ligne et en colonne est 1/36.
Le raisonnement précédent à peine adapté montre en effet que la proba de l'avoir en colonne sachant que l'on a en ligne est 1/6.

Finalement je trouve 1/6+1/6-1/36=11/36 pour la proba d'avoir le mot MATH dans la grille.

11/36
On est d'accord.
Si on veut dénombrer tout l'univers, on a 24 possibilités pour la 1ère ligne.
Pour chacune de ces 24 possibilités, on a 6 possibilités pour la 1ère colonne.
Soit 24*6=144 possibilités pour les 7 cases en question.
Et une fois qu'on a rempli ces 7 cases, on constate qu'on a 4 possibilités seulement pour remplir le reste de la grille.
Donc en tout 4x144=576 dispositions possibles.  
Beaucoup moins que le 15552 évoqué.

Variante n°1 de l'exercice :
Avec exactement les mêmes contraintes pour le placement des lettres (chaque lettre apparaît une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne), quelle est la probabilité que le mot MATH apparaisse au moins une fois dans la grille, soit sur une ligne, soit sur une colonne. Mais cette fois, on considère que MATH écrit de droite à gauche, ou de bas en haut, c'est valable.

Avec le même raisonnement que précédemment

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Et je m'aperçois que la réponse précédente est fausse.

Un début :

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la proba d'avoir sur une ligne MATH sachant que l'on a HTAM sur une autre ligne est 1/3.
La proba d'avoir les deux est donc 1/18 et celle d'avoir l'un ou l'autre est 1/3-1/18=5/18.
Et j'ai l'impression que l'on perd l'indépendance avec les colonnes.

Il va falloir passer par un dénombrement sur les carrés latins.

Piste :

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Compter les dispositions avec 4 fois le mot MATH (forcément une fois dans chacune des 4 orientations)
Puis celles avec 3 fois le mot MATH
Puis celles avec 2 fois le mot MATH, à l'horizontale
Puis celles avec 2 fois le mot MATH, une fois à l'horizontale et une fois à la verticale
Puis celles avec exactement 1 fois le mot MATH, à l'horizontale

Mais on n'est pas loin d'un recensement des 576 dispositions.

Sur le dénominateur

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Toutes les symétries du carré préservent l'existence  du mot MATH dans un sens ou dans l'autre.
Il y a donc au plus 24²/8 soit 72 situations à examiner.
Et la proba cherchée est de la forme a/72 avec a entier.

Super méthode
Et je suis sincère.
Il reste un peu de travail à faire quand même.

Bof ...
Du coup, ça m'a mis la pression.
J'ai fait un programme qui recense tout ça.
Je retrouve bien le 576 grilles totales.
Je retrouve bien 176 grilles qui ont MATH écrit à l'endroit. Ce qui donne une proportion de 11/36.
Donc mon programme semble correct.
Je trouve bien un nombre de solutions multiple de 8 pour la question en cours, mais très très loin de 42*8 ou 43*8

Autrement dit, quand il y a MATH écrit à l'endroit, il y a une probabilité très forte qu'il y ait aussi MATH écrit à l'envers.

Bon, les intuitions, il faut s'en méfier. Ou alors, il faut être bien réveillé.
On a une approximation : 2 * 11/36, c.a.d 61%
Mais on sait que la vraie valeur est en-dessous.

Or, on peut trouver une 2ème approximation facilement.
Quelle est la proportion de grilles n'ayant pas le mot MATH écrit à l'endroit : 25/36
La proportion de grilles n'ayant pas le mot MATH à l'envers : 25/36 aussi.
La proportion de grilles n'ayant pas le mot MATH ni à l'endroit, ni à l'envers ... à peu près (25/36)²=48%, en sachant que cette approximation est supérieure à la vérité.
Donc le complément, les grilles qui ont MATH à l'endroit ou à l'envers, on sait déjà que c'est une proportion inférieure à 52% .

L'estimation 43/72 (60%) ou 42/72 (58%) était donc beaucoup trop haute.
Et effectivement, le dénombrement systématique donne un résultat inférieur à 52%

Voilà une étude complète.
Personnellement fidèle à mon habitude ,j'ai remplacé MATH par 1234 et mon tableur me donne bien 576  dispositions et je confirme
que si  1 est en tête de ligne et donc de colonne 1234  apparait  plus souvent (ce qui est logique puisque cela débloque les autres...)

On peut essayer d'exploiter ce résultat.
Regardons uniquement les lignes horizontales.
Sur les 576 grilles, il y en a 96 (=576*1/6)  qui ont le mot MATH écrit à l'endroit, sur une ligne horizontale.
Pareil, 96 qui ont le mot MATH écrit à l'envers sur une ligne horizontale.
Et il y a 1/3*96 =32 lignes qui ont MATH écrit à l'endroit et aussi à l'envers.
Donc 160 (=576*5/18) grilles qui ont MATH écrit sur une ligne horizontale, soit à l'endroit, soit à l'envers.
Donc 416(=576*13/18) qui n'ont pas MATH écrit sur une ligne verticale.
Pareil , 416 qui n'ont pas MATH écrit sur une colonne verticale.
Donc on est tenté de dire qu'il y aurait 416*13/18 grilles qui n'ont pas MATH, ni en ligne ni en colonne.
Mais ce nombre n'est pas un entier, et encore moins un multiple de 8...
Donc les événements 'MATH en ligne' et 'MATH en colonne' ne sont pas indépendants.

D'ailleurs, phénomène amusant, il y a des grilles qui ont 0 fois le mot MATH, 1 fois, 2 fois, 4 fois ... mais aucune grille avec 3 fois le mot MATH.

Bonsoir,
j'ai la flemme d'écrire un programme de dénombrement.

Mais je suis surpris que le nombre de grilles ayant au moins une fois le mot MATH dans un sens ou dans l'autre soit un multiple de 8 parce que mon raisonnement sur les dénominateurs est faux .

Il y a des grilles invariantes par les symétries diagonales, par exemple
      1 2 3 4
      2 1 4 3
      3 4 1 2
      4 3 2 1

Ce qui est amusant, et lié au fait qu'il n'y a pas de grille avec trois fois le mot dans un sens ou dans l'autre, c'est que si on regarde uniquement MATH dans le bon sens il y a indépendance entre les lignes et les colonnes.

Bonjour,
En relisant,je trouve impossible que MATH apparaisse  plus de 2 fois
dans la grille puisque par définition les 4 lettres sont différentes par ligne et par colonne.

dpi :
Tu as pourtant un exemple dans le message de verdurin juste au-dessus du tien :

M A T H
A M H T
T H M A
H T A M

L'énoncé dit de droite à gauche ,de haut en bas mais pas à l'envers .
J'en été resté là...

Le 25 novembre, 17h41, on a basculé :
Exercice n°1 résolu, proba = 11/36 ;  on passe à la variante, où on accepte les écritures de droite à gauche ou de bas en haut.

Et voici la réponse à cette variante :

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Sur les 576 grilles possibles, il y en a 248 qui contiennent au moins une fois le mot MATH dans un des 4 sens possibles.

On peut s'en tirer sans programmation.

Déjà, compter le nombre total de disposition possibles :
24 pour les permutations possibles des lettres sur la première ligne
fois
6 pour les permutations possibles des trois dernières lignes
fois
4 (le nombre de dispositions possibles avec MATH en 1e ligne et MATH en 1e colonne)
font 576

Ensuite notons les événements (resp. ) pour la présence de MATH (resp. HTAM) en ligne n°, idem et pour les colonnes.
On applique ensuite la formule du crible de Poincaré pour calculer la probabilité de la réunion de ces événements.

1°) Chacun des ces événements a probabilité 1/24. La somme est 2/3.

2°) Fixons ; il y a un seul tel que soit non vide et il a alors probabilité (1/24) x (1/6). Comme il y a 16 intersections de deux tels événements non vides, la somme est 1/9.
Fixons . Il y a 4 dispositions possibles pour , idem pour , proba 1/144 pour chacun. Comme il y a 24 intersections de deux tels événements non vides, la somme est 1/6.

3°) Si une intersection de 3 événements est non vide, alors c'est aussi une intersection de 4, forcément et elle compte 2 dispositions ; chacune a proba 1/288.  Total pour les intersections de 3 : 4 x 4 x 1/288 = 1/18.

4°) Et total pour les intersections de 4 : 4 x 1/288 = 1/72.

Bilan : la proba recherchée est

2/3 - (1/9 + 1/6) + 1/18 -1/72 = 31/72.