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Probas - Les chaussettes
Bonsoir
Jean possède, dans son armoire, un tiroir à chaussettes. Il possède un seul type de chaussettes, mais en
deux couleurs, noires ou blanches. Il range toujours ses chaussettes en vrac, sans les associer par
paires. Il sait que lorsqu'il sort deux chaussettes au hasard de son tiroir, la probabilité pour qu'elles
soient toutes les deux blanches est exactement égale à un tiers.
Combien Jean possède-t-il de paires chaussettes, au minimum ?
Je n'ai aucune logique 
Je dirai 3 paires de chaussettes = 6 chaussettes
mais non, en fait j'en sais rien
attend je cherche
autant de blanches que de noires
donc une chance sur 2 de tirer une blanche au départ
il reste une chaussette blanche en moins
1/2 * ??? = 1/3
donc la probas de tirer une 2ème chaussette blanche
doit être de 2/3
parce que:
1/2 * 2/3 = 2/6 = 1/3
BN et NB sont équivallents (enfin je crois)
Suis bête Daniel 
les calculs je comprends bien, pour faire 1/3, 1/2*2/3 , mais comment j'arrive là ?
Il a bien 3 paires de chaussettes ou plus ?
donc 2/3 pour le 2ème tirage
je bloque
s'il y avait 3 paires (2 blanches et 1 noire)
il resterait:
3 chaussettes blanches et 2 chaussettes noires
la probas serait de 3/5
c'est pas bon
s'il y avait 4 paires (2 blanches et 2 noires)
il resterait:
3 chaussettes blanches et 4 chaussettes noires
la probas serait de 3/7
c'est pas bon
tu es d'accord pour 2/3 pour le 2ème tirage ?
il faut trouver:
(blanches-1) / (blanches + noires - 1) = 2/3
(B-1)/(B+N-1) = 2/3
3*(B-1) = 2*(B+N-1)
3B - 3 = 2B + 2N - 2
B = 2N + 1
il manquerait une chaussette blanche
on doit multiplier les probas
1/2 de tirer une blanche au départ
et 2/3 au 2ème tirage
pour avoir 1/2 * 2/3 = 1/3
mais je me retrouve avec un nombre pair de chaussette blanches,
après en avoir tirée une.
c'est bizarre
s'il y avait 5 paires (3 blanches et 2 noires)
il resterait:
5 chaussettes blanches et 4 chaussettes noires
la probas serait de 5/9
c'est pas bon non plus
j'ai un nombre impair de chaussettes blanches
avec 6 ça marcherait
ça ferait 7 chaussettes blanches au départ
il y a une erreur quelque part.
on recommence tout:
soit B et N le nombre de chaussettes Blanches et Noires
(je parle pas de paires)
1er tirage:
B/(B+N)
2ème tirage:
(B-1)/(B+N-1)
proba:
B/(B+N) * (B-1)/(B+N-1) = 1/3
Ben comme c'est le hasard, on va dire, trouvé au pif (au hasard) 
merci c'est très intéressant
Bonne soirée
on a trouvé une solution
par essais disons
3 paires blanches et 2 paires noires
3/5 * 5/9 = 15/45 = 1/3
On ne peut les trouver qu'on essayant.
En tout cas merci Daniel, sans ton aide je ne pourrais jamais le trouver et merci Lièvre pour cet
exercice.
Bonne soiréé à tous.
Bonne soirée et bonne nuit à vous deux
je vais essayer de chercher encore un peu
mais c'est pas gagné
je trouve rien d'évident
avec le produit en croix:
2b² - 2bn - 2b - n² + n = 0
en prenant b comme variable:
je remplace n par 2n,
pour que n soit le nombre de paires noires
et b le nombre de paires blanches
en faisant varier n on trouve:
n=2 et b=3 ce que DemoGeneral a trouvé
6/10 * 5/9 = 30/90 = 1/3
n=390 et b=533
1066/1846 * 1065/1845 = 1135290/3405870 = 1/3
n=75658 et b=103351
206702/358018 * 206701/358017 = 42725510102/128176530306 = 1/3
n=14677262 et b=20049513
je vous laisse faire le calcul
après ça va beaucoup plus loin
Bravo, c'est en effet un joli problème, dont la difficulté me semble dépasser nettement le niveau "troisième" ...
Bonjour.
Soient c le nombre total de chaussettes et b le nombre de chaussettes blanches.
(b*(b-1)) / (c*(c-1)) = 1/3
3b(b-1) = c(c-1)
c² - c - 3b² + 3b = 0
c = (1+V(1+12b²-12b))/2
b doit être pair et la racine carré doit être un nombre entier qui divisé par 4 donne comme reste 3)
la plus petite solution est b = 6
Jean possède six chaussettes blanches et dix chaussettes en tout (dont quatre noires).
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