Bonjour.

Ecris l'équation de la droite puis sésous le système formé par les équations de la droite et du cercle.

A plus RR.

bonjour, l'équation de la droite c'est bien y=3?

Classe de troisième : y = ax + b.
Coefficient directeur a = m, donc y = mx + b
Elle passe par (0,3), donc 3 = m.0 + b => b = 3
La droite a pour équation y = mx + 3

Tu dois résoudre alors le système :
y = mx + 3 (I)
x² + y² - 4x + 2y = 0 (II)

Tu remplaceras y par mx + 3 dans (II). Cela te donnera une équation du second degré d'inconnue x avec un paramètre m.
Calcule alors le discriminant et discute suivant les valeurs de m le nombre de solutions.

Un conseil : le cercle s'écrit : (x - 2)² + (y + 1)² = 5, donc centre (2,-1) et rayon 5. Dessine ce cercle (il passe par l'origine) et une droite variable passant (0,3). Tu auras ainsi une idée du problème.

A plus RR.

merci beaucoup de ton aide, je vais tenter de le faire, je pense avoir compri merci encore

Avant de commencer, vérifie ton énoncé : (0,3) ? et x² + y² - 4x + 2y = 0 ?
A plus RR.

je me retrouve avec (M+1)x²+(8m-4)x+15=0
ensuite arrivé là je calcule le delta? on sait que m est différent de 1 sinon on aurait 0x² ce qui n'est pas possible dans un polinôme du second degrès.
mais ensuite je suis complètement perdue, comment faire?

Comme je te le précise, vérifie bien ton énoncé. Si c'est correct, tu dois arriver à :
(1 + m²)x² + (8m - 4)x + 15 = 0. (Tu avais juste oublié m²).
Ta remarque sur 1 + m = 0 était fort judicieuse, mais donc elle n'est plus vraie puisque 1 + m² n'est jamais nul.

Sauf erreur, je trouve = 4m² - 64m - 44 = 4(m² - 16m - 11)
Il faut donc étudier le signe de l'expression E = m² - 16m - 11.
C'est un trinôme du second degré de la variable m. On cherche son discriminant D = 300.
Donc deux racines :

et

Je te laisse retrouver tout ceci.

A plus RR.

j'ai réussi a retrouver tout cela, donc cela veut dire que pour trouver mes points d'intersection je remplace m par m' et m'' dans l'équation II ?

J'appelle (S) l'équation : (1 + m²)x² + (8m - 4)x + 15 = 0.
Je te rappelle que = 4m² - 64m - 44 = 4(m² - 16m - 11) et que je pose E = m² - 16m - 11.

Tu dois étudier le signe de ou de E (cela revient au même).

¤ m' < m < m" => E < 0 => l'équation (S) n'a pas de solution => la droite et le cercle ne se rencontrent pas
¤ m < m' ou m > m" => E > 0 => l'équation (S) a deux solutions => la droite rencontre le cercle en deux points distincts.
¤ m = m' ou m = m" => E = 0 => l'équation (S) a une solution double => la droite est tangente au cercle.

Ce n'est que dans ce dernier cas que tu peux éventuellement faire les calculs pour trouver les points de tangence, car tu connais les valeurs de m. Dans les autres cas, tu ne peux que donner le nombre de points de rencontre.
Cependant, quand on remplce m par m' ou m", les calculs sont très lourds, c'est pour cela que je te demandais de bien vérifier l'énoncé.

A plus RR.

Merci beaucoup pour ton aide, mais tout me parait confu, je pense qu'il doit y avoir une facon plus simple de le faire, puisque la prof ne nous donne jamais d'exo si compliqué (surtout que nous sommes en bac blanc !)