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probleme

Posté par greg (invité) 06-09-04 à 13:58

Bonjour,                       racine carre = rc
voici le probleme que je vous propose
Pour tout entier n ,montrer que l'inverse de racine carre n + rc n+1 est rc n+1 - rc n
en déduire la valeur exacte de la somme :
S=1/1+rc 2 + 1/rc 2+rc 3 + 1/rc 3+rc 4 +....+1/rc120+rc121

MERCI BEAUCOUP

Posté par
muriel Correcteur
re : probleme 06-09-04 à 14:22

bonjour
c'est bien tu es poli, mais j'ai l'impression que tu veux qu'on face tes exercices à t'a place.
tu as ceci:
\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}
pour avoir le résultat voulu, tu dois te rappeler de:
(a+b)(a-b)=a²-b²
ici, tu as a=\sqrt{n} et b=\sqrt{n+1}
d'autre part, si tu multiplie en haut et en bas par un même nombre (ou une même expression) dans une fraction, tu ne changes pas la valeur de ta fraction.
ainsi:
\frac{1}{a+b}=\frac{1*(a-b)}{(a+b)(a-b)}
voilà pour ce qui est de l'égalité.

S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}=\sum_{k=1}^{120}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}
=\sum_{k=1}^{120}(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})
=\sum_{k=1}^{120}\sqrt{k}-\sum_{k=1}^{120}\sqrt{k+1}
tu peux donc trouver le résultat.

Posté par
Océane Webmaster
re : probleme 06-09-04 à 14:26

Bonjour Greg

2$ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}
= 2$ \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})(\sqrt{n} - \sqrt{n+1})}
= 2$ \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{n - n + 1}
= 2$ \sqrt{n} - \sqrt{n+1}

Donc :
2$ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1
2$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}
2$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}
...
2$ \frac{1}{\sqrt{119} + \sqrt{120}} = \sqrt{120} - \sqrt{119}
2$ \frac{1}{\sqrt{120} + \sqrt{121}} = \sqrt{121} - \sqrt{120}

On obtient :
S = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + ... + \sqrt{120} - \sqrt{119} + \sqrt{121} - \sqrt{120}
=  - 1   +  \sqrt{121}
= - 1 + 11
= 10

A toi de tout reprendre, bon courage ...

Posté par
Océane Webmaster
re : probleme 06-09-04 à 14:27

Arf désolée, Muriel, je n'avais pas vu ta réponse

Posté par
muriel Correcteur
re : probleme 06-09-04 à 17:55

pas de problème Océane ,
de tout manière ta méthode ne fait pas intervenir \sum



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