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Niveau cinquième
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probleme

Posté par
lauryne66
30-10-16 à 20:17

bonsoir, voici mon exercice:
la calculatrice de Léo ne marche pas bien .Il peut seulement utiliser:  5 , 7  ,+  , et  =
peut il afficher 11 ? 14? et 19?
Quel est le plus grand nombre que Léo ne peut pas afficher ?
Explique ta démarche ton raisonnement tes idées qui t on permis de répondre
Si une idée n as pas fonctionner explique pourquoi
nos démarche et réponses sont aussi importantes que la réponse au problème

Voici mon résultat:  
il peut afficher 14 et 19 car 7 + 7= 14
                                                              7+7+5=19
Le nombre 11 n est pas possible car   5 + 5 =10
                                                                                   5 + 7 = 12
                                                                                    7 + 7 = 14

Posté par
rutabaga
re : probleme 30-10-16 à 20:37

Bonsoir,

Très bien
Pour 11, précise bien que toutes les opérations que Léo pourra faire, mis à part 5, 7, 5+5, 5+7 et 7+7, donneront un résultat supérieur à 11.

Posté par
mathafou Moderateur
re : probleme 30-10-16 à 22:22

Bonjour,

reste "le plus grand nombre que leo ne pourra pas afficher" ...

en effet à partir d'un certaine valeur tous les nombres pourront être affichés
il existe donc un plus grand nombre parmi ceux qu'on ne peut pas afficher.

le démontrer en 5ème n'est absolument pas du niveau !!!

on peut toutefois "expérimenter"...
(chercher à représenter des nombres de plus en plus grand)

Posté par
lauryne66
re : probleme 31-10-16 à 10:10

Bonjour,

donc il faut que je fasse toute les additions possible afin de trouver le plus grand nombre possible en ayant des résultats qu avec le 5 et le 7.
Le sujet me demande de le démontrer mes demarches
merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : probleme 31-10-16 à 10:32

tu pourras t'arrêter à des nombres pas trop grand ...

ensuite le problème est que je suis persuadé que PERSONNE en 5ème n'est capable d'imaginer la démonstration prouvant que aucun nombre (il y en a une infinité, impossible de les essayer tous !)
plus grand que cette limite là n'est impossible.

essaie 23 (tiré d'un chapeau)
ou plutôt tous les nombres entre 11 (dont tu sais déja qu'il est impossible) et 23 pour faire propre et faire croire qu'on ne t'a pas donné ce "23"
pas trop dur, tu en a fait un du même genre avant (11), avec l'additif de rutabaga pour le transformer en preuve

et il faut ensuite prouver que tous les nombres ≥ 24 sont possibles
c'est là la difficulté
cela se fait en en calculant 5 de suite et en prouvant que tous les 5 le "motif de calcul" se répète

celui qui a proposé cette question en 5ème est un doux rêveur...
même des Terminales seraient bien embêtés pour le prouver sans indications, sans guide à suivre.
(et pourtant ils ont des outils autrement plus puissants à leur disposition : les équations diophantienne, les congruences etc)

Posté par
lauryne66
re : probleme 31-10-16 à 11:43

bonjour d'après la question : Quel est le plus grand nombre que Léo ne peut pas afficher?
Pour ma part voici ma réponse dont je doute :
Léo ne peut pas afficher le plus grand nombre car les additions des chiffres qui fonctionne (5,7 ) sont infinis.
merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : probleme 31-10-16 à 11:54

réponse ne correspondant pas à ce qui est demandé
on ne demande pas "le plus grand nombre point final"
mais le plus grand nombre qui soit impossible

la phrase de l'énoncé affirme que certains nombres sont possibles et d'autres non
et que les nombres impossibles sont en nombre fini, et qu'il y a donc un plus grand nombre impossible et que tous les nombres suivants sont tous possibles.


1 : impossible
2 : impossible
...
5 : possible
...
11 : impossible
...
14 : possible
...
18 : impossible
19 : possible
...
23 : impossible (le prouver)
24 : possible (idem)
TOUS les suivants sont TOUS possibles (le prouver)

la réponse à la question est
"le nombre 23 est le plus grand nombre impossible
tous les suivants sont possibles"

Posté par
lauryne66
re : probleme 31-10-16 à 12:14

bonjour,    pour le 23 voici ma démarche:
7+7+7+7=32       7+7+7+5=26
5+5+5+5=20      5+5+5+5+5=25

                       pour le 24 voici ma démarche:
5+5+7+7=24

et je continue comme ça pour montrer jusqu'à  23 et après les démarches possible en continue

Posté par
mathafou Moderateur
re : probleme 31-10-16 à 13:02

pour 23 tu as oublié une combinaison
le plus efficace pour êtr sûr de ne pas en oublier est de faire une recherche systématique :

que des 7
un seul 7 de moins et compléter par des 5
2 septs de moins et compléter par des 5
3 septs de moins ...
..
pas de septs du tout (que des 5).
sans oublier la justification "à la rutabaga" pour justifier que toute autre combinaison donnerait un nombre plus grand.

ceci dit si tu pars directement sur 23 tu prouves surtout qu'on t'a donné ce 23 !!
ce 23 tu dois le trouver
en essayant tous les nombres entre 11 (le plus grand nombre impossible fourni par l'énoncé
et ce 23 que l'on "découvre" ainsi.

et ensuite on continue à chercher des nombres impossibles au dela de 23 parce que ne sait pas encore que c'est le plus grand impossible peut être y en a-t-il d'autres encore plus grands (tu n'es pas obligé de me croire quand je te le dis que c'est le plus grand)

donc tu essaies 24 (fait)
puis 25
puis 26
puis 27
puis 28
puis 29 et là tu remarques quelque chose de particulièrement intéressant par rapport aux décompositions précédentes
et c'est ça qui va te permettre de conclure.

Posté par
lauryne66
re : probleme 31-10-16 à 13:55

bonjour, en effet j ai effectue les opérations jusqu'à 46 qui sont possible et la seul que l on peut pas c'est bien 23 par contre on a 46 qui est possible et c'est le double de 23 .
par contre je l 'ai fait en manuscrit et je ne voie pas spécialement de truc particulier si ce n est que nous diminuons les chiffres 5 que l on remplace par des 7 et le résultat est toujours possible.
merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : probleme 31-10-16 à 14:22

sans remarquer précisément ce qui se passe à 29 tu n'as pas fini ...
(tu es parti pour tester une infinité de nombres et tu sera mort bien avant et de même que tous tes descendants ...

inutile d'aller si loin !!


24 = 7+7+5+5     29 = 7+7+5+5 + 5        34 = 7+7+5+5 + 5 + 5
25 = 5+5+5+5+5   30 = 5+5+5+5+5 + 5      ... etc
26 = 7+7+7+5     31 = 7+7+7+5 + 5
27 = 7+5+5+5+5   32 = 7+5+5+5+5 + 5
28 = 7+7+7+7     33 = 7+7+7+7 + 5



tous les 5 nombres on ajoute un 5 de plus sans rien changer à ce qui était déja (à ce qui était en rouge)
et c'est donc toujours possible puisque la série de 5 nombres consécutifs 24, 25, 26, 27, 28 est possible

peut être n'as tu pas remarqué cela parce que ta méthode de décomposition n'est pas la bonne (en remplaçant de façon intempestive des 5 par des 7)

Posté par
rutabaga
re : probleme 31-10-16 à 14:30

Bonjour à vous deux,

On pourrait classer les nombres en cinq colonnes :

1       2      3      4      5
6       7      8      9     10
11   12   13   14   15
16   17   18   19   20
21   22   23   24   25
26   27   28   29   30

A partir de cette classification, on peut "montrer", comme le dit mathafou, qu'à partir d'un certain nombre (23 exclus), tous les nombres peuvent être affichés.
En effet, si un nombre est possible, alors tout ceux qui le succèdent dans la colonne le sont aussi en ajoutant simplement 5.

Par exemple, tu as montré qu'on pouvait afficher 14 ; et on peut alors afficher 19, 24, 29, ...

1       2      3      4      5
6       7      8      9     10
11   12   13   14   15
16   17   18   19   20
21   22   23   24   25
26   27   28   29   30

en rouge les nombres qui ne peuvent pas être affichés (plus difficile à le montrer)
en bleu les nombres qui peuvent être affichés (une addition permet de le justifier)

Posté par
rutabaga
re : probleme 31-10-16 à 14:31

(oups, je n'ai pas été assez rapide ...)



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