Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités,le
coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction:


C(x)=1/30x3-15x2+2 500x.

On appelle cout marginal la dépense occasionée par la production d'un
objet suplémentaire.On choisit comme modélisation de ce cout marginal
Cm(x)= C'(x)

On suppose que l'entreprise est en situation de monopole,ce qui
a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix. La relation
liant le prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est:

p(x)=-45/8x+2 750 (autrement ditnquand x objets sont vendus,chacun l'est au
prix p(x).

1)Calculer la recette totale R(x) pour la vente de x unités.
2)On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée
par la vente d'un objet supplémentaire,on modélise cette recette
marginale par rm(x)=R'(x),où R' est la fonction dérivée
de R.Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale
au coût marginal?

3)Montrer que le bénéfice pour la production et la vente de x unités est donné
par:

B(x)=1/30x3+75/8x2+250 x.
Calculer B'(x),ou B' représente la fonction dérivée de B.
En déduire que le bénéfice est maximal quand la recette margibale est
égale au coût marginal.
Que vaut ce bénefice maximal?



recherche


** message déplacé **

Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités,le
cout total de fabrication de x unités est donné par la fonction:

C(x)=1/30x3-15x2+2 500x

On apelle cout marginal la dépense occasionnée par la production d'un
objet supllémentaire.On choisit comme modélisation de ce cout marginal
Cm(x)=C'(x).

On suppose que l'entreprise est en situation de monopole,ce qui
a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix.La relation
liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est:

p(x)=45/8x+2 750 (autrement dit,quand x objets sont vendus,chacun l'est au
prix p(x)).

1)Calculer la recette totale R(x) pour la vente de x unités.

2)On appele recette marginale l'augmentation de recette procurée
par la vente d'un objet supplémentaire;on modélise cette recette
margibale par Rm(x)=R' est la fonction dérivée de R. Pour quelle
valeur de x la recette marginale est-elle égale au cout marginale?

3)Montrer que le bénéfice pour la production et la vente de x unités est donnée
par:

B(x)=-1/30x3+75/8x2+250x.

Calculer B'(x),ou B' répresente la fonction dérivée de B.
En déduire que le bénefice est maximal quand la recette marginale est
égale au cout marginal.
Que vaut ce bénefice maximal?

** message déplacé **

C(x)=(1/30)x³ - 15x² + 2500x
Cm(x) = C'(x) = (1/10)x² - 30x + 2500

1)
En supposant que P(x) = -(45/8)x + 2750
R(x) = x.p(x)
R(x) = -(45/8)x² + 2750x

2)
Rm(x) = R'(x) = 2750 - (45/4)x

On a Rm(x) = Cm(x) si:
2750 - (45/4)x = (1/10)x² - 30x + 2500
(1/10)x² - x(30 - (45/4)) + 2500 - 2750 = 0
(1/10)x² - x(75/4) - 250 = 0
2x² - 375x - 5000 = 0
dont la racine dans [0 ; 300] est x = 200.


3)
B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = -(45/8)x² + 2750x - (1/30)x³ + 15x² - 2500x
B(x) = -(1/30)x³ + (75/8)x² + 250x

B'(x) = -(1/10)x² + (75/4)x + 250
B'(x) = -(1/10).(x + 12,5)(x-200)

B'(x) > 0 pour x dans [0 ; 200[ -> B(x) est croissant.
B'(x) = 0 pour x = 200
B'(x) < 0 pour x dans ]200 ; 300[ -> B(x) est décroissant.

Il y a un maximum de B(x) pour x = 200.

Rm(200) = 2750 - (45/4)*200 = 500
Cm(200) = (1/10)*200² - 30*200 + 2500 = 500

Et donc on a bien le bénéfixe maximum quand la recette marginale est
égale au cout marginal.
Bénéfice maximum = B(200) = -(1/30)*200³ + (75/8)*200² + 250*200 = 383333,33
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Sauf distraction.