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Problème
Bonjour j'ai besoin de votre aide svp
Exercice :
1. Étudier les variations de la fonction p définie par: P(x)=x²-6x+5
2. On considère la fonction f de R vers R définie par :
f(x)=(ln x)²-6ln x+5
Déduire de l'étude précédente le sens de variation de f .
3. Calculer les dérivées f' , f'' de f.
Quelle est la valeur x0 de x pour laquelle f"(x0)=0?
Calculer le coefficient directeur de la tangente (D) au point M0 d'abscisse x0.
4. On considère la fonction g de R vers R définie par:
g(x)=(ln x)²-6ln x+5-x+5
Calculer les dérivées g' et g" de g et en déduire son signe .
Démontrer que , pour x>e4 , la courbe représentative (C) de f est situéeau-dessous de sa tangente (D) en M0.
Étudier les positions relatives de (C) et (D) pour x<e4.
Réponses :
1. Dp=R
La fonction P est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur
2. La fonction f est la composée de la fonction ln x et de la fonction P
f=P(ln x)
Df=]0 ; +
[
_ P est définie sur R
_ln x est définie sur ]0 ; +[ 
R.
La fonction ln x est strictement croissante sur ]0 ; +[ et l'image de ]0 ; +[ par la fonction ln x est R.
_ La fonction P n'est pas monotone sur R
Decoup je ne sais pas quoi déduire.
3.
Le coefficient directeur de la tangente à (C) au point d'abscisse x0 est -2/e²
4.
1. Dp=R
Pour tout x
R , P'(x)=2x-6
Pour tout x>0 , 2x-6>0 <=> x>3
Pour tout x<0 , 2x-6<0 <=> x<3
La fonction P est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur
2. La fonction f est la composée de la fonction ln x et de la fonction P
f=P(ln x)
Df=]0 ; +[
_ P est définie sur R
_ln x est définie sur ]0 ; +[ R.
La fonction ln x est strictement croissante sur ]0 ; +[ et l'image de ]0 ; +[ par la fonction ln x est R.
_ La fonction P n'est pas monotone sur R
Ducoup je ne sais pas quoi déduire.
3.
f"(x)=
f"(x0)=0
<=> 8-2ln x=0
<=>2ln x=8
<=> ln x=4
<=> x=e⁴
f'(x0)=2/e⁴
Le coefficient directeur de la tangente à (C) au point Mo est 2/e⁴
Bonjour
question 1 oui mais un peu lourd pour l'étude d'une fonction du second degré
Soit la fonction définie par
par conséquent
Si les deux fonctions ont même sens de variation alors la composée est croissante sinon elle est décroissante
et
oui
2.
_La fonction P est strictement décroissante pour x<3 et strictement croissante pour x>3
_La fonction ln x est strictement croissante pour x>0
La composée est croissante ( ou décroissante ) sur quelle intervalle ?
Bonjour,
P est définie sur ]- , +[, passe par un minimum pour x=3 et s'annule pour x=1 et x=5.
Il en va de même pour f en fonction de la variable X=lnx :
f est définie pour lnx]- , +[, passe par un minimum pour lnx=3 en s'annulant pour lnx=1 et lnx=5.
Il te reste à voir comment varie x quand lnx décrit
, et quelles sont les valeurs remarquables relatives à la fonction f correspondantes.
Il n'y a pas le choix
les deux sont strictement croissantes sur
et sur l'une est strictement croissante et l'autre strictement décroissante
La fonction ln x n'est pas définie sur ]- ; 3[
Sinon puisque les deux fonctions sont croissante sur ]3 ; +[ alors la composée est croissante sur ]3 ; +[
Ah d'accord , je pensais qu'il fallait rajouter l'image de ]0 ; +[ par la fonction P dans la rédaction.
Il y a quelques problèmes car la courbe ne donne absolument pas cela
on aurait décroissante jusqu'à 20 et croissante ensuite
La mienne aussi
reprenons la définition d'une fonction croissante
la fonction est croissante sur ]0~;~+\infty[ on a donc
Pour pouvoir appliquer la croissance de p il faut donc que soit supérieur à
donc que x soit supérieur à
reprenons on considère deux réels quelconques et
tous les deux supérieurs à
\ on applique la fonction
d'où
on applique maintenant donc puisque elle est croissante
il en résulte que
est croissante sur
J'ai pas compris mais on ne peux pas le faire en se servant de la propriété :
_v est une fonction définie sur un intervalle L
_ u est une fonction deinie sur un intervalle K et à valeurs dans L.
Si u et v sont strictement monotones et ont le même sens de variation ,alors la composée vou est strictement croissante sur K.
Si u et v sont strictement monotones et ont des sens de variation différents , alors la composée vou est décroissante sur K.
Si mais le problème est bien la définition de l'intervalle
pour que p soit croissante il faut que soit supérieur à 3 donc
supérieur à
P est croissante pour x>3
Donc P(ln x) est croissante pour ln x >3 => x>e³
P(3)=3²-6×3+5=-4
Pourquoi vous avez mis e³ au lieu de -4 dans votre post précédent (dernière ligne)
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