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Niveau seconde
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Problème

Posté par
MAXTYLE
13-01-21 à 22:27

Bonsoir J'ai reçu l'énoncé d'un exercice, mais je ne sais pas du tout comment faire mon approche/ l'interpréter, le voici:

Quatre entiers positifs sont donnés. On en choisit trois, on calcule la moyenne des trois et on ajoute le quatrième, ce qui peut être fait de 4 façons différentes. Les quatres résultats obtenus sont 17, 21, 23 et 29.
Quel est le plus grand des 4 entiers au
départ?  12/15/21/24/29

Merci d'avance pour votre aide!

***Merci de choisir un titre plus explicite la prochaine fois***

Posté par
ty59847
re : Problème 13-01-21 à 23:37

On a 4 entiers. On va nommer ces 4 entiers a b c et d .
C'est la première étape , incontournable. On nous parle de 4 entiers, il faut donner des noms ou des prénoms à ces 4 entiers.
Moi, je vois que mes 4 entiers sont forcément différents 2 à 2, il ne peut pas y en avoir 2 qui seraient égaux. Est-ce que tu vois pourquoi ils sont forcément différents ?
Je vais donc les ordonner : a<b<c<d.

Les informations qu'on nous donne, comment peut-on les traduire en équation ?
Cette phrase , il faut la traduire en équation (en plusieurs équations en fait) :

On en choisit trois, on calcule la moyenne des trois et on ajoute le quatrième, ce qui peut être fait de 4 façons différentes. Les quatres résultats obtenus sont 17, 21, 23 et 29.

Et quand tu auras écrit les différentes équations, le plus dur sera fait.

Posté par
MAXTYLE
re : Problème 14-01-21 à 07:59

J'avoue ne pas comprendre pourquoi deux a deux ils doivent être différents, mais pour les équations j'ai trouvé ceci :
(b+c+d)÷3+a=17
(a+c+d)÷3+b=21
(a+b+d)÷3+c=23
(a+b+c)÷3+D=28

Posté par
carita
re : Problème 14-01-21 à 10:21

bonjour à vous deux,

en l'absence de ty59847 qui reprend la main dès son retour.

tes équations sont bien posées; reste à résoudre ce système.
(attention, la dernière équation c'est =29, et non pas =28)
une méthode possible :
-  pour chacune des 4 équations : mets sur dénominateur commun (3), puis multiplie chaque membre par 3.
- additionne les 4 équations obtenues
- .....

montre tes calculs si besoin de validation.


pourquoi les 4 nombres sont différents : montrons-le par l'absurde.
admettons que ce soit le cas (par exemple c et d sont égaux)
jette un oeil sur les 2 dernières équations que tu as écrites...
qu'en penses-tu ?

Posté par
ty59847
re : Problème 14-01-21 à 13:36

Tu as su écrire les 4 équations, c'est bien.  Et tu as su le faire tout seul .. tu as juste eu besoin d'un peu d'encouragements.  

Pour trouver les 4 nombres  (ou pour trouver d uniquement, c'est ce qu'on nous demande),  on peut essayer de combiner les équations.
C'est ce que j'ai essayé de faire,  avec les mêmes idées que carita (additionner les 4 équations ...)
Si on a les bonnes intuitions, en faisant les bonnes 'combinaisons', on tombe vite sur la solution. Mais si on n'a pas les bonnes intuitions, on tourne en rond. (et sur ce cas, quand j'ai cherché, je ne trouvais pas les bonnes combinaisons).

Il faut essayer avec la méthode proposée par carita.  il faut essayer de trouver les bonnes astuces.  

Si on n'a pas les bonnes intuitions, on a toujours un plan B, on peut dérouler une méthode simple, mais assez longue.
Dans la première équation, on isole l'inconnue a :  a=17 -3(b+c+d)
Et on remplace a par cette valeur dans les 3 autres équations.
Comme ça, on passe d'un système à 4 équations et 4 inconnues à un système à 3 équations et 3 inconnues b, c et d.
Et on recommence, on isole b dans une équation, et on remplace b par sa valeur dans les 2 autres équations.
etc.
C'est bourrin, c'est un peu longuet, il y a beaucoup de petits calculs simples, et donc beaucoup d'occasions de se tromper sur les calculs.
Mais c'est méthodique, et on est sûr d'arriver au résultat.

Posté par
MAXTYLE
re : Problème 14-01-21 à 20:47

Bonsoir, tout d'abord merci beaucoup pour toutes vos explications, et je m'excuse pour le temps que je mets à répondre. J'ai beaucoup de travail ces derniers jours, je vous répondrai donc demain si cela ne vous pose pas de problème En tout cas encore merci à vous deux,  je reviendrai demain ^^

Posté par
azerti75
re : Problème 14-01-21 à 23:02

Bonsoir,

ty59847 @ 14-01-2021 à 13:36

Tu as su écrire les 4 équations, c'est bien.  Et tu as su le faire tout seul .. tu as juste eu besoin d'un peu d'encouragements.  

Pour trouver les 4 nombres  (ou pour trouver d uniquement, c'est ce qu'on nous demande),  on peut essayer de combiner les équations.
C'est ce que j'ai essayé de faire,  avec les mêmes idées que carita (additionner les 4 équations ...)
Si on a les bonnes intuitions, en faisant les bonnes 'combinaisons', on tombe vite sur la solution. Mais si on n'a pas les bonnes intuitions, on tourne en rond. (et sur ce cas, quand j'ai cherché, je ne trouvais pas les bonnes combinaisons).

Il faut essayer avec la méthode proposée par carita.  il faut essayer de trouver les bonnes astuces.  

Si on n'a pas les bonnes intuitions, on a toujours un plan B, on peut dérouler une méthode simple, mais assez longue.
Dans la première équation, on isole l'inconnue a :  a=17 -3(b+c+d)
Et on remplace a par cette valeur dans les 3 autres équations.
Comme ça, on passe d'un système à 4 équations et 4 inconnues à un système à 3 équations et 3 inconnues b, c et d.
Et on recommence, on isole b dans une équation, et on remplace b par sa valeur dans les 2 autres équations.
etc.
C'est bourrin, c'est un peu longuet, il y a beaucoup de petits calculs simples, et donc beaucoup d'occasions de se tromper sur les calculs.
Mais c'est méthodique, et on est sûr d'arriver au résultat.

Une autre méthode et comme la question est juste de trouver le plus grand des nombres, une fois qu'il a la somme des quatre nombres (avec la méthode de carita), il suffit de dire.
Supposons que le plus grand c'est .... donc on aurait ..., ce qui est impossible, etc.

Exemple: il trouve que la somme des nombres c'est 50; supposons que le plus grand c'est 29, donc les 3 autres nombres ont comme somme 21 (50 - 29), donc une moyenne de 7, donc on devrait avoir 36 comme résultat parmi les quatre (29 + 7) ce qui n'est pas le cas, donc 29 n'est pas le plus grand

Posté par
azerti75
re : Problème 14-01-21 à 23:45

Par élimination donc.

Posté par
MAXTYLE
re : Problème 15-01-21 à 17:30

Bonjour !
J'ai essayé la méthode de carita, et j'ai obtenu ces quatres équations:
b+c+d+3a=51
a+c+d+3b=63
a+b+d+3c=69
a+b+c+3d=84
Pour la suite je ne vois pas comment avancer :/
Mais pour les chiffres différents deux à deux, est-ce car les équations ont des résultats pairs et impairs?

Posté par
ty59847
re : Problème 15-01-21 à 17:48

Attention, tu as un 29 qui s'est transformé en 28 à un moment. C'est bien 29 qu'il faut mettre. Et donc 87 dans ton dernier message.
A  partir de ton calcul, continuons :
J'additionne les 4 lignes :
... ... = 51+63+69+87

Là, à partir de ce résultat,  on peut ensuite isoer a : a = ... ... ...
Et ensuite, on peut injecter cette valeur de a dans ta dernière équation.
Et c'est fini, on obtient d= ... ...

Posté par
carita
re : Problème 15-01-21 à 17:53

arrange tes variables toujours dans le même ordre.

3a +   b  + c   +  d   =51
a    +3b  + c    +  d   =63
a   +   b  + 3c  +d   =69
a   +   b   +  c   +3d =87     attention, c'est 3*29
------------------------------- additionne membre à membre les 4 équations
?   +  ?    +  ?    +  ?   =   ?

puis déduis-en
a+b+c+d = ...?

Posté par
ty59847
re : Problème 15-01-21 à 17:53

Les résultats sont tous impairs ( tu as un nombre pair, mais c'est parce que tu as mal recopié).

Imaginons que d et c sont égaux.
Dans ce cas (a+b+c)/3+d  ou (a+b+d)/3+c,   ces 2 calculs doivent donner la même chose.
Ces 2 calculs doivent donner (a+b+4c)/3
Or, les 4 résultats (17,21, 23,29) sont tous différents.  Donc problème. C'est pour ça qu'on est certain que les 4 nombres a,b,c,d sont différents.

Posté par
carita
re : Problème 15-01-21 à 17:53

oups,
bonsoir  ty59847, je te laisse poursuivre.

Posté par
MAXTYLE
re : Problème 15-01-21 à 23:33

D'aaaaccord merci, je pense avoir compris. Le plus grand nombre est donc 21 si je ne me suis pas trompé?

Posté par
ty59847
re : Problème 15-01-21 à 23:53

Oui, on arrive à 21.
Et , bonne nouvelle, 21 est bien dans la liste des valeurs proposées  

Posté par
MAXTYLE
re : Problème 16-01-21 à 10:07

D'accord, merci beaucoup à vous tous pour votre aide

Posté par
DOMOREA
Problème 16-01-21 à 11:47

bonjour,
Tu as donc 4 égalités
(1)    a+b+c+3d=87
(2)    a+b+d+3c=69
(3)    a+c+b+3d=63
(4)    b+c+d+3a=51
Comme te l'a écris carita :  Par addition tu obtiens 6(a+b+c+d)=270 donc a+b+c+d=45
avec ce résultat et l'égalité (1) tu obtiens d
en faisant la soustraction (1)-(2) tu obtiens une relation entre d et c et donc tu obtiens c etc ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 16-01-21 à 15:29

Bonjour,
Une coquille dans l'égalité (3) : a+c+d+3b=63

En fait, on peut écrire ainsi les 4 équations :
(1) a+b+c+d + 2d = 87
(2) a+b+c+d+ 2c = 69
(3) a+b+c+d + 2b = 63
(4) a+ b+c+d+ 2a = 51
Une fois trouvé a+b+c+d, on en déduit facilement d à partir de (1), c à partir de (2), b à partir de (3) et a à partir de (4).
Mais seul le plus grand est demandé. Il est clair que c'est d car 87 est le plus grand des 4 seconds membres.



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