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Problème accroissement naturel

Posté par
Lululeloup
12-04-21 à 23:49

Bonsoir,
J'ai le problème suivant et j'ai beau le retourner dans tous les sens je bloque ne serait ce qu'à la première question du coup si l'on pouvait m'éclairer je dis pas non...

Le problème en question:

Le taux d'accroissement naturel (augmentation ou diminution annuelle de la population en pourcentage) de la population française est de 0,55 % par an depuis 1999 selon l'Insee.

On estime également que chaque année, le solde migratoire (différence entre le nombre de personnes qui sont entrées sur le territoire et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année) est d'environ 75 000.
En 2018, le nombre d'habitants en France était de 67,2 millions.

On fait l'hypothèse que l'évolution observée perdure et on note pn le nombre d'habitants estimé (en millier) en France, l'année 2018 + n, avec n entier naturel.

1. Calculer p1.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : pn+1= 1,0055pn + 75.

3.TABLEUR Compléter la feuille de calcul suivante pour estimer le nombre d'habitants en France en 2060.
(voir image jointe)

4. On pose Un= pn+ 13 636,363 64.
a. Démontrer que Un+1= 1,0055Un. Quelle est alors la nature de la suite (un) ?
b. Exprimer Un en fonction de n puis en déduire pn en fonction de n.

5. Comment vérifier à la calculatrice l'estimation obtenue à la question 3 ?

Problème accroissement naturel

Posté par
Leile
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 00:09

Bonsoir,

calculer p1 ?
tu connais p0 = 67 200   (67,2 millions en milliers d'ahbitants = 67200)
tu sais que ça augmente de 0,55%   et qu'on ajoute 75 (75000 en milliers = 75)
calcule p1 !

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 00:25

Comment sais t- on que cela augmente de 0,55% et pas diminué ?
Je crois que j'ai un problème avec le 67,2 millions je trouve pas quel chiffre cela donne sans virgules et le 75000 (soixante quinze mille) ce qu'il vaut également quand vous dites 75

Posté par
Leile
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 00:40

le taux d'accroissement est positif : c'est donc une augmentation.

quand on exprime une quantité en milliers, c'est que l'unité vaut 1000.
Ainsi 3000  unités, c'est  3 mille, donc 3 milliers.

67,2 millions : 67 200 000       en milliers (tu divises par 1000)  ca donne  67200
de même    75 000    :   75 mille, c'est  75 milliers.

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 00:44

Donc p1= 67200*0,55 +75?

Posté par
Leile
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 00:52

quand tu fais ce calcul, qu'est ce que tu trouves ?
tu penses que cette réponse est correcte ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 09:27

Non justement le résultat n'est pas cohérent mais je ne comprend pas quel calcul faire dans ce cas là...

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 09:43

Bonjour

En l'absence de Leile

À quoi correspond  67200\times 0,55 ?  Là, vous dites que l'augmentation est de 55 %

\dfrac{5,5}{100}=0,055

p1 est la population en 2019, c'est-à dire pour n=1

vous avez donné une « augmentation »  de la population,   mais non la population après l'augmentation,   à laquelle vous avez ajouté l'accroissement naturel

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 09:44

Je pense avoir trouvé
Est ce que c'est p1= 67200+0,55%+75
??

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 09:51

Non  on parle de taux d'augmentation

Si vous avez une tablette de chocolat de 125 g et qu'on vous donne 10 % de produit en plus vous n'avez pas

125+0,1 mais 125+0,1\times 125  = 137,5

Au lieu de faire ce calcul on peut utiliser le coefficient multiplicateur

dans l'exemple précédent c'est 1+0,1=1,1 on a bien 125\times 1,1=137,5

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 11:24

Je ne comprend pas....😞

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 11:30

Si je suis ce que vous venez de dire alors le calcul à faire est 67200*1,55+75 ??

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 11:31

Non pardon 67200*0,0055+75

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 11:33

Décidément je n'y arrive pas aujourd'hui...
p1=67200*1,0055+75

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 12:00

augmentation   67200\times 0,055

population  ne tenant compte que de l'augmentation naturelle  67200+ 67200\times 0,055

que l'on peut calculer directement par  67200\times 1,055

Population totale en tenant compte aussi du solde migratoire  

67200\times 1,055+75

D'accord ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 12:02

Oui c'est bon

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 12:21

Bien maintenant  on refait la même chose,  mais au lieu de 67200 on a p_n

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 13:02

Pourquoi on remplace 67200 par Pn??

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 13:19

On avait P_0 =67200  et on a calculé P_{0+1}

On cherche la population de l'année suivante de l'année n, c'est-à-dire celle de l'année n+1

C'est donc bien le même principe  on a l'effectif d'une année et on cherche celui de l'année d'après

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 14:10

Si Pn=67200 et P0+1=67200*1,0055+75
Alors Pn+1=Pn*1,0055+75 ??

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 15:34

Augmentation de 0,55% donc le coefficient multiplicateur est 1,0055

Dans mes messages précédents j'ai mis une augmentation de 5,5%  donc désolé pour l'erreur

Il est vrai qu'une population augmentant chaque année d'autant  est peut-être peu réaliste.

Population avec l'accroissement naturel  :  P_n \times 1,0055

solde migratoire 75  donc population totale  P_{n+1}=P_n\times 1,0055 +75

D'accord

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 15:38

Oui c'est ce que j'ai dit

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 15:41

Il n'y avait pas de ? Donc j'approuvais ce que vous aviez écrit, une réserve sur la rédaction  cependant.

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 15:46

Très bien donc pour la question 2 on rédige ce que vous venez de dire pour y répondre ?

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 15:56

Comme il est demandé de montrer que l'on a bien P_{n+1}=1,0055P_n +75

Il serait bien de montrer comment on l'obtient.

À une augmentation de 0,55 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,0055

Durant l'année n+1,  la population grâce à l'augmentation naturelle  devient 1,0055P_n  et  à laquelle s'ajoute le solde migratoire 1,0055P_n +75

On obtient bien P_{n+1}=1,0055 P_n+75

Ou tout autre chose du même genre

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 15:59

Ok très bien merci

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 16:00

Pour la 3e question je ne comprend pas très bien ce qui est attendu... faut dire refaire entièrement le tableau jusqu'à l'année 2060 ou seulement saisir la formule à mettre dans la case correspondante ?

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 16:04

Je pense qu'il faut refaire le tableau et descendre jusqu'à 2060

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 16:10

Il faut écrire à chaque fois pour chaque année depuis 2018 jusqu'à 2060? C'est super long non?

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 16:16

N'avez-vous jamais utilisé de tableur  ?

Il n'y a que six cases à écrire  le reste par tirage

en A1 Année  en B1 Population
en A2 =2018 en B2 67200
en A3 =A1+1 en B3 =1.0055*B2+75

ensuite  dans le coin en bas à droite vous devez avoir un petit carré noir et vous tirez dessus jusqu'à l'affichage de 2060

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 16:37

Je sais pas si j'ai le droit d'utiliser un tableur pour répondre a cette question ou si il faut tout que je recopie à la main

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 16:46

Faire écrire 42 lignes pour rien est d'un ridicule !

Chez vous utilisez le tableur et sur la copie écrivez  les deux dernières lignes Ce serait bien suffisant

pour prouver que vous avez utilisé le tableur, d'autant qu'il n'y a aucune utilisation de ces résultats

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 17:26

Très bien merci beaucoup 😊

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 17:29

On passe à la question 4 alors ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 18:56

Oui ça me va..
Du coup pour la question 4a. Il faut démontrer que  Un+1= 1,0055Un en ayant Un= pn+ 13 636,363 64.  Je ne vois pas le lien entre ce qui est donné et ce que l'on doit démontrer

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 19:03

Vous avez peut-être remarqué que pour avoir la population en 2060 il fallait calculer les populations des quarante précédentes années.
On vous propose donc en introduisant une suite géométrique de pouvoir estimer cette population sans calculer les populations des autres années

Le problème est donc de montrer que (u_n) est une suite  géométrique de raison 1,0055

écrivez v_{n+1} remplacez -le par sa valeur en fonction de p_n et mettez 1,0055 en facteur

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 19:05

J'ai compris que c'était pour trouvé une formule explicite et non plus une formule de récurrence mais j'ai pas compris comment il fallait faire avec ce qui étais donner...

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 19:11

Avez-vous essayé ce que je vous ai dit ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 19:34

Oui j'ai essayé mais je n'arrive pas à identifier Un, Un+1 ainsi que Pn

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 20:16

u_{n+1}=p_{n+1}+13636,36364=1,0055p_n+75+13636,364=1,0055\left(p_n+\dfrac{75+13636,364}{1,0055}\right)

Simplifiez  et que trouvez-vous dans la parenthèse ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 20:51

1,0055(Pn + 13 635,36364)

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 21:00

Oui, mais il doit y avoir une erreur sur une décimale, faute de frappe,  mais on reconnaît  u_n conclusion

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 21:08

Oui c'est 13 636,36364 plutôt désolé mais du coup que faut il faire maintenant ?

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 21:11

Vous avez montré que u_{n+1}=1,0055u_n

Que pouvez-vous conclure  ?  

Écrire  u_0 et u_n en fonction de n

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 22:25

Je ne vois pas ce qu'on peut conclure...certes on a montrer ce qu'il fallait démontrer mais à quel moment peut on en conclure que la suite est désormais arithmétique ?

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 22:33

Il faudra revoir les définitions. Si chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre la suite est géométrique  (u_n) est une suite géométrique de raison  \dots et de premier terme  \dots

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 22:47

Je suis perdue 😞...

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 22:51

Comment cela  ?  vous avez u_{n+1}=1,0055u_n

Cela ne répond-il pas à la définition d'une suite géométrique  ?

Comment écrit-on alors son terme général ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 23:09

Un+1=Un* q
Donc la suite est géométrique

Donc ici q=1,0055
Par contre comment on peut trouver U0? On chercher quand n=-1 que vaut U ?

Posté par
hekla
re : Problème accroissement naturel 13-04-21 à 23:17

la relation est vraie pour tout n donc u_0=p_0+13636,364

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