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Problème arithmétique
Bonjour, depuis ce week end, je suis confronté à un problème, dans le dernier devoir maison de spé maths, il y a un problème dont je n'arrive pas à trouver la solution, l'énoncé est :
Déterminer tous les couples (x;y) d'entiers naturels vérifiant l'égalité : 8 ppcm (x;y) = 105 pgcd (x;y) + 30
alors voilà, j'ai beau poser x= q.x' et y=p.y' (comme il suffit d'habitude), je ne parviens à aucune solution, pourriez vous m'aider?
merci d'avance
salut
soit d = pgcd (x, y)
x = du et y = dv avec pgcd (u, v) = 1
8 ppcm (x, y) = 105 pgcd (x, y) + 30 <=> 8duv = 105d + 30 <=> 8duv = 15(7d + 2)
8 divise 15(7d + 2) et ne divise pas 15 donc ....
....
on a donc 8 divise 7d+2
d divise 30
donc des est forcément compris dans {2;6;10 ou 30}
et on teste donc pour savoir si 7d+2 est divisible par 8
Or cela ne fonctionne que si d=2 ou d=10
D'où on a :
1er cas pour d=2 8x2uv=105d+30
16uv=240
uv=16
or les diviseurs de 16 sont 1,2,4,6,8 et 16, d'où du(donc x)={2,4,8,12,16ou32}
avec dv(donc y)={32,16,12,8,4,ou2}
2eme cas pour d=10 8x10uv=105d+30
80uv=1080
uv=13,5
or 13,5 n'est pas un entier donc absurde
Réciproquement, aucun de ces résultats n'est juste, je me suis donc planté quelque part ... :/
attention !!
uv = 16 et u et v sont premiers entre eux ... par hypothèse !!!
et il faut justifier que d est pair ....
Mais si d est le pgcd de x et de y, uv ne sont-ils pas par définition nécessairement premiers?
De plus, il nous importe peu de prouver que d est pair car parmi les diviseurs de 30 (pairs et impairs) seuls 2 et 10 vérifient 7d+2 divisible par 8,
Je dois surement m'embrouiller quelque part puisque je ne vois toujours pas où mon calcul coince ...
certes il y a une information redondante :
8 divise 7d + 2 et d est pair ....
mais il faut trouver u et v convenables pour être premiers entre eux ...
bon en fait il semble que tu aies raison dans ::
or les diviseurs de 16 sont 1,2,4,6,8 et 16, d'où du(donc x)={2,4,8,12,16ou32}
avec dv(donc y)={32,16,12,8,4,ou2}
mais c'est mal écrit ....
D'où on a :
1er cas pour d=2 8x2uv=105d+30
16uv=240
uv=16
or les diviseurs de 16 sont 1,2,4,6,8 et 16, d'où du(donc x)={2,4,8,12,16ou32}
avec dv(donc y)={32,16,12,8,4,ou2}
2eme cas pour d=10 8x10uv=105d+30
80uv=1080
uv=13,5
or 13,5 n'est pas un entier donc absurde
Réciproquement, aucun de ces résultats n'est juste, je me suis donc planté quelque part ... :/
Mon erreur se situe ici, en effet, 240÷16=15 et non 16, de là, on déroule le même raisonnement, et on trouve des résultats plausibles pour d=2, quant à d=10, toujours pas de solution, les couples solutions sont donc :
(2;30)
(6;10)
(10;6)
(30;2)
Merci à tous pour votre aide
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