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Problème Arithmétique

Posté par
pfff 30-04-20 à 08:00

Bonjour je n'arrive pas à faire ça

ÉNONCÉ
Soit l'équation (E) d'inconnue rationnelle x : 78x^3 + ux² + vx - 14 =0 ou u et v sont des entiers relatifs.

On suppose dans cette question \frac{14}{39} est une solution de (E).
Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation 14u + 39v =1129

Posté par
carpediemre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 08:52

salut

quand on utiise latex on l'utilise pour toute l'expression ...

il suffit de remplacer x par 14/39 dans l'équation et de la transformer ...

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 09:19

merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 09:54

de rien

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 21:15

ok  c'est pas encore fini.

Bon je mets l'énoncé complet
ÉNONCÉ
Soit l'équation (E) d'inconnue rationnelle x : 78x^3 + ux² + vx - 14 =0 ou u et v sont des entiers relatifs.

1)On suppose dans cette question \frac{14}{39} est une solution de (E).
a-Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation 14u + 39v =1129
b-résoudre (E)

2-a-Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.
En déduire dans , l'ensemble des diviseurs de 78 et l"ensemble des diviseurs 14.

b-Soit  \frac{P}{Q} une solution rationnelle de l'équation (E).
Démontrer que siP et Q sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors P divise 14 et Q divise 78.

c-En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l'équation (E) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble de ceux qui sont positifs

je bloque sur la question 2-b

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 22:10

Citation :
quand on utilise latex on l'utilise pour toute l'expression ...


pas d'inconnue rationnelle [tex]x[/tex] : 78[tex]x^3[/tex] + u[tex]x²[/tex] + v[tex]x[/tex] - 14 =0

non.

c'est très très moche (à la limite de l'illisible)

mais un seul morceau en entier dans une seule paire de [tex] [/tex] :

d'inconnue rationnelle [tex]x : 78x^3 + ux^2 + vx- 14 =0[/tex]

comparer le truc moche
x : 78x^3 + ux² + vx - 14 =0   dans lequel on se demande si ce n'est pas v puissance x !!!
et
x : 78x^3 + ux^2 + vx- 14 =0

on n'utilise pas le LaTeX juste pour écrire chacun des "x" d'une formule !!

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 22:56

désolé alors je réécris

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 23:01

désolé je réécris alors

ÉNONCÉ
Soit l'équation (E) d'inconnue rationnelle x : 78x^3 + ux^2 + vx- 14 =0
  ou u et v sont des entiers relatifs.

1)On suppose dans cette question \frac{14}{39} est une solution de (E).
a-Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation 14u + 39v =1129
b-résoudre (E)

2-a-Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.
En déduire dans , l'ensemble des diviseurs de 78 et l"ensemble des diviseurs 14.

b-Soit  \frac{P}{Q} une solution rationnelle de l'équation (E).
Démontrer que siP et Q sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors P divise 14 et Q divise 78.

c-En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l'équation (E) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble de ceux qui sont positifs

je bloque sur la question 2-b

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 23:26

ce n'était pas nécessaire de retaper maintenant, c'était une remarque : on te dit de faire / ne pas faire ceci / cela et tu t'empresses de refaire la même erreur, on se demande à quoi sert ce qu'on dit !!

2b c'est un peu comme la question 1 :
remplacer x par P/Q dans (E)
mettre bien entendu au même dénominateur
et factoriser ce qu'on peut ...
il y a deux questions :
P divise 14
Q divise 78.
on ne factorise pas la même chose pour chacune

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 23:45

quand je remplace j'obtiens ca je fais comment pour la suite ? C'est à dire factoriser
78\frac{P^3}{Q^3} + u\frac{P²}{Q²} + v\frac{P}{Q}-14=0

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 30-04-20 à 23:51

avant de factoriser quoi que ce soit :

Citation :
mettre bien entendu au même dénominateur

(ou multiplier tout par Q^3, vu que Q est non nul)

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 00:13

78P^3 + uP²Q + vPQ² -14Q^3=0

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 00:45

P(78P^2 + ... ) = ...

puis Gauss car P et Q premiers entre eux

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:05

Bonjour oui on aura \large P( 78P² + uPQ + vQ² - \frac{14Q^3}{P } )
Ca sera encore compliqué avec le Q^3

donc voici comment j'ai fait

.Pour démontrer que P divise 14

Ona \large 78\frac{P^3}{Q^3} + u\frac{P²}{Q²} + v\frac{P}{Q}-14=0 \large \frac{P}{Q}( \frac{78P²}{Q²} + \frac{uP}{Q} + v - \frac{14Q}{P} )
P divise 14 et Q, comme P et Q sont premiers entre eux alors P divise 14

.Pour démontrer que Q divise 78

Ona \large 78\frac{P^3}{Q^3} + u\frac{P²}{Q²} + v\frac{P}{Q}-14=0 \large \frac{P²}{Q²} ( \frac{78P}{Q} + u + \frac{vQ}{P} - \frac{14Q²}{P²} )
Q divise 78 et P, comme Q et P sont premiers entre eux alors Q divise 78

A vous de voir.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:31

Bonjour,
Je me permets de répondre en l'absence de mathafou.
Quand on fait de l'arithmétique, éviter les fractions.

Tu as écrit 78P^3 + uP²Q + vPQ² -14Q^3=0
Transforme cette égalité sans écrire de dénominateur,
d'une part en isolant un terme avec du 78,
d'autre part en isolant un terme avec du 14.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:33

J'ai oublié de te dire que je ne vois aucune démonstration dans ce que tu as écrit à 8h05.

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:45

Bonjour, si j'isole 78 avec un autre terme il y aura forcement un dénominateur quelque part, donc je peux isoler 78 et Q ensemble on aura :

\large \frac{78}{Q} ( QP^3 + \frac{P²Q²u}{78}+ \frac{vQ^3P}{78} - \frac{7Q^4}{39} )

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:46

binjour
une petite remarque

j'avais écrit
P(78P^2 + ... ) = ...

pas
P(78P^2 + ... ) = 0

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:50

Ok donc  P( 78P^2 + uPQ + vQ^2 ) = 14 Q^3

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 08:52

oui.
et maintenant Gauss

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:02

P divise 14Q^3 comme P et Q sont premiers entre eux  alors P et Q^3 sont premiers entre eux ( Je reste un peu perplexe la-dessus ) d'ou P divise 14

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:05

En classe on nous a pas dit que si b divise a alors b divise a^3

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:08

a^3 = a * a^2 = est un multiple de a.

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:09

ah oui j'avais pas remarqué merci

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:20

ensuite pour le deuxième on a

Q( 14Q² - vPQ² - uP²Q ) = 78P^3
Q divise 78P^3 comme P et Q sont premiers entre eux, il en est de même de P et Q^3 donc d'après le T de Gauss Q divise 78

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:34

Oui.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:36

Une remarque et je m'éclipse :

Citation :
En classe on nous a pas dit que si b divise a alors b divise a^3
Tu t'es mal exprimé.
Il est évident que si \; b divise a \; alors \; b divise a3 \;

Ce que tu voulais sans doute dire :
Si a est premier avec b alors a est premier avec b3.

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 09:39

ok merci  Sylvieg sans cet exercice je n'aurai jamais su une chose aussi évidente

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 10:56

Bon pour la dernière question :
c-En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l'équation (E) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble de ceux qui sont positifs. Je trouve :

P   { 1, 2, 7, 14 }
Q { 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 }

les solutions P/Q sont donc :

- \large \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{13}, \frac{1}{26}, \frac{1}{39}, \frac{1}{78}
-\large \frac{2}{3}, \frac{2}{13}, \frac{2}{39}
-\large \frac{7}{2}, \frac{7}{3}, \frac{7}{6}, \frac{7}{13}, \frac{7}{26}, \frac{7}{39},\frac{7}{78}
-\large \frac{14}{3}, \frac{14}{13}, \frac{14}{39}

Au total je trouve 20 solutions c'est un peu louche, j'ai besoin de votre vérification

Posté par
carpediemre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 11:03

pourquoi ? ne peux-tu pas toi-même vérifier que ça marche ou pas ?

relis bien l'énoncé : pour que p/q soit solution il faut que ... mais est-ce suffisant ?

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 11:16

P et Q sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors P divise 14 et Q divise 78.
mais l'exercice dit de donner les solutions positives

Posté par
carpediemre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 11:33

est-il dit ou as-tu prouvé que toutes les fractions que tu donnes sont solutions ?

il y a une différence entre les solutions sont ... et les solutions sont parmi ...

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 11:35

oui parmi toutes ces solutions chacune respecte: P et Q sont des entiers relatifs premiers entre eux,  P divise 14 et Q divise 78.

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 11:50

ce ne sont pas des solutions, et ce n'est pas des solutions que demande l'énoncé

il demande des nombres qui sont susceptibles d'être, (peut être ou pas), des solutions .
alors que les autre rationnels de n'en sont certainement pas.


c-En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l'équation (E) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble de ceux qui sont positifs

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 11:55

oui moi je veux juste savoir si mes réponses répondent à la question

donc je dois remplacer chaque solution dans (E) ? mais que fait-on de u et v ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 12:14

tu ne comprends absolument pas ce qu'on te dit ni ce que dit l'enoncé

tu as trouvé un ensemble de rationnels qui est bien la réponse correcte à la deuxième partie de la question :

écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble de ceux qui sont positifs

mais :

- tu ne réponds pas correctement à la première partie (qui parle de rationnels tout court)

- tu te poses des question oiseuses :
"je trouve 20 solutions c'est un peu louche"
parce que ce ne sont PAS des "solutions"

mais que ce sont peut être des solutions, et c'est ce qu'on te demande, des nombres qui sont peut être des solutions, qui peuvent être des solutions
et on ne te demande certainement pas de vérifier qu'elles en sont effectivement ou pas et tu ne peux pas dire "les solutions sont"

mais "les solutions, s'il y en a, sont peut être parmi ces nombres là"
sans qu'on t'en demande davantage que cette liste de nombres là et c'est tout.

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 12:18

Ah d'accord  les nombres rationnels pouvant être solutions de l'équation (E) sont donc :

- \large \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{13}, \frac{1}{26}, \frac{1}{39}, \frac{1}{78}
-\large \frac{2}{3}, \frac{2}{13}, \frac{2}{39}
-\large \frac{7}{2}, \frac{7}{3}, \frac{7}{6}, \frac{7}{13}, \frac{7}{26}, \frac{7}{39},\frac{7}{78}
-\large \frac{14}{3}, \frac{14}{13}, \frac{14}{39}

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 12:39

c'est quoi tes signes "-" ??
les tirets de début de lignes sont à proscrire formellement quand on écrit des formules !!
ça veut dire "moins" !

et encore une fois ça c'est la réponse à la deuxième partie de la question :
la liste des nombres rationnels positifs qui conviennent

la première partie demande combien il y en a des positifs ou négatifs en tout.

Posté par
pfffre : Problème Arithmétique 01-05-20 à 12:43

Non , pendant un devoir je mettrai pas ça : -
c'était pour que vous perceviez mieux mes réponses

ok merci pour votre aide


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